들어가며
방정식을 풀 때 ‘등호를 건너가면 부호가 바뀐다’고 말합니다. 빠르게 계산할 때는 편하지만, 어느 항의 부호를 바꿔야 하는지 자주 헷갈리는 원인이 되기도 합니다.
실제로 항이 움직이는 일은 없습니다. 등식의 양변에 같은 수를 더하거나 빼서 한쪽 항을 0으로 만드는 과정을 짧게 적은 것이 이항입니다.
등호는 양쪽이 같다는 약속입니다
등식은 왼쪽 값과 오른쪽 값이 같다는 뜻입니다. 양쪽에 같은 수를 더하거나 빼고, 같은 0이 아닌 수를 곱하거나 나누어도 같은 관계는 유지됩니다.
저울 양쪽에서 같은 무게를 덜어내도 균형이 유지되는 것과 같습니다. 방정식을 푸는 과정은 이 균형을 지키면서 x만 남기는 일입니다.
- 양변에 같은 수를 더한다.
- 양변에서 같은 수를 뺀다.
- 양변에 같은 0이 아닌 수를 곱한다.
- 양변을 같은 0이 아닌 수로 나눈다.
+5가 −5로 보이는 이유
3x+5=20에서 x가 있는 쪽의 +5를 없애려면 양변에서 5를 뺍니다. 왼쪽의 +5−5는 0이 되고, 오른쪽에는 20−5가 남습니다.
이를 3x=20−5처럼 짧게 쓰기 때문에 +5가 등호를 넘어가 −5로 바뀐 것처럼 보입니다. 부호 변화는 같은 수를 양변에서 뺀 결과입니다.
예제 1: 음수 계수가 있는 방정식
상수항을 먼저 없앤 뒤 x의 계수로 나누면 부호를 한 단계씩 확인할 수 있습니다.
직접 풀어보기
5−2x=17을 푸세요.
- 양변에서 5를 빼면 −2x=12입니다.
- 양변을 −2로 나누면 x=−6입니다.
답 x=−6
검산 원래 식에 넣으면 5−2×(−6)=5+12=17입니다.
예제 2: 분수가 있는 방정식
나눗셈을 없앨 때도 한쪽 항을 옮긴다고 생각하지 말고 양변에 같은 수를 곱합니다.
직접 풀어보기
x/3−4=2를 푸세요.
- 양변에 4를 더하면 x/3=6입니다.
- 양변에 3을 곱하면 x=18입니다.
답 x=18
검산 18/3−4=6−4=2입니다.
이항에서 자주 틀리는 순간
항 전체를 보지 않고 숫자 앞의 기호만 바꾸면 계수나 괄호가 빠질 수 있습니다. 예를 들어 −2x는 −2와 x가 곱해진 한 항입니다.
부등식에서는 양변에 같은 수를 더하거나 빼는 과정은 방정식과 같습니다. 다만 음수를 곱하거나 나눌 때 부등호 방향이 바뀌므로 이항의 부호 변화와 섞어 생각하면 안 됩니다.
- 없앨 항의 반대 연산을 정한다.
- 양변에 똑같이 적는다.
- 한 줄에 한 연산만 한다.
- 해를 원래 식에 대입한다.
정리
이것만은 기억하세요
- 이항은 항이 실제로 이동하는 일이 아니라 등식의 양변에 같은 연산을 하는 과정입니다.
- +5가 −5로 보이는 것은 양변에서 5를 뺐기 때문입니다.
- 상수항을 정리한 뒤 x의 계수를 없애면 부호 실수가 줄어듭니다.
- 구한 해는 반드시 원래 방정식에 대입해 확인합니다.
확인
혼자서 확인해 보기
1. 4x−7=21을 푸세요.
풀이와 답 보기
- 양변에 7을 더하면 4x=28입니다.
- 양변을 4로 나누면 x=7입니다.
답 x=7
검산 4×7−7=28−7=21입니다.
2. 2−3x=−13을 푸세요.
풀이와 답 보기
- 양변에서 2를 빼면 −3x=−15입니다.
- 양변을 −3으로 나누면 x=5입니다.
답 x=5
검산 2−3×5=2−15=−13입니다.
FAQ
자주 묻는 질문
이항할 때 곱하기도 나누기로 바뀌나요?
그렇게 외울 수는 있지만 실제로는 양변을 같은 0이 아닌 수로 나누는 것입니다. 과정을 써 보면 0으로 나누는 실수도 피할 수 있습니다.
등호 양쪽에서 서로 다른 연산을 하면 왜 안 되나요?
두 값이 같다는 관계가 깨질 수 있기 때문입니다. 등식의 균형을 유지하려면 양변에 같은 연산을 해야 합니다.
답을 대입했는데 양변이 다르면 어떻게 하나요?
처음으로 값이 달라진 줄을 거꾸로 찾아보세요. 이항 부호, 괄호 전개, 음수로 나누는 단계에서 오류가 자주 발견됩니다.