들어가며
연립방정식에서 가감법을 쓰기로 했는데 어느 식을 더하고, 어느 식에 몇을 곱해야 할지 막힐 때가 있습니다. 계산부터 시작하면 계수가 커지거나 식 전체가 아닌 한 항에만 수를 곱하는 실수가 생깁니다.
가감법의 목표는 두 식을 섞는 것이 아니라 한 문자를 0으로 만드는 것입니다. 계수의 부호와 배수 관계를 먼저 보고 가장 적은 계산으로 없어질 문자를 고르면 과정이 짧아집니다.
먼저 두 식의 항을 세로로 맞춥니다
x항, y항, 상수항이 같은 열에 오도록 두 식을 정리합니다. 식의 순서가 다르면 같은 종류의 항을 더하지 못하고 부호도 놓치기 쉽습니다.
dx + ey = f
분수가 있다면 양변에 공통분모를 곱해 먼저 정수 계수로 바꿀 수 있습니다. 이때 한 항만 곱하지 말고 등식의 양쪽 모든 항에 같은 수를 곱합니다.
계수의 모양으로 더할지 뺄지 정합니다
| 계수 모양 | 먼저 할 일 |
|---|---|
| 3과 −3 | 두 식을 더해 해당 문자를 없앱니다. |
| 4와 4 | 한 식에서 다른 식을 빼거나 한 식의 부호를 바꿉니다. |
| 2와 6 | 계수 2인 식에 3을 곱합니다. |
| 3과 4 | 최소공배수 12가 되도록 두 식에 각각 4와 3을 곱합니다. |
예제 1: 반대 부호면 그대로 더합니다
추가 곱셈 없이 소거
2x+y=11, 3x−y=9를 가감법으로 푸세요.
- y의 계수가 1과 −1이므로 두 식을 더합니다.
- 5x=20이 되어 x=4입니다.
- 첫째 식에 넣으면 8+y=11이므로 y=3입니다.
- 둘째 식에도 넣어 12−3=9인지 확인합니다.
답 x=4, y=3
검산 두 원래 식을 모두 만족해야 연립방정식의 해입니다.
식에 수를 곱할 때는 모든 항에 적용합니다
2x+3y=13과 5x−2y=4에서는 y의 계수 3과 −2를 최소공배수 6으로 맞추는 것이 편합니다. 첫째 식 전체에 2, 둘째 식 전체에 3을 곱합니다.
15x−6y=12
────────
19x=38
x=2를 첫째 식에 넣으면 4+3y=13이므로 y=3입니다. 식에 수를 곱한 뒤 상수항 13과 4에도 각각 2와 3이 곱해졌는지 반드시 확인합니다.
하나를 구한 뒤에는 원래 식에 대입합니다
소거 후 구한 x나 y는 끝이 아닙니다. 둘 중 계수가 1이거나 숫자가 작은 원래 식에 대입해 나머지 문자를 구합니다. 곱해서 만든 식보다 원래 식을 사용하면 계산이 짧고 입력 실수도 찾기 쉽습니다.
마지막에는 해를 두 원래 식 모두에 대입합니다. 한 식만 만족한다면 대입 과정이나 소거 과정에서 부호를 놓쳤을 가능성이 큽니다.
- 한 문자의 값을 구한다.
- 계산이 쉬운 원래 식에 대입한다.
- 나머지 문자의 값을 구한다.
- 순서쌍을 두 원래 식에 모두 넣는다.
0=0과 0=2가 나오면 뜻을 읽습니다
두 문자를 소거했는데 0=0이 남으면 두 식이 사실상 같은 직선을 나타낼 수 있습니다. 한 식을 만족하는 점이 다른 식도 모두 만족하므로 해가 무수히 많습니다.
0=2처럼 성립할 수 없는 등식이 나오면 두 직선은 평행해 만나지 않습니다. 계산이 틀렸다고 바로 지우기 전에, 두 식이 같은 관계인지 평행한 관계인지 확인합니다.
x+y=3, 2x+2y=8 → 0=2
가감법과 대입법 중 계산이 짧은 쪽을 고릅니다
한 식이 y=2x+1처럼 이미 한 문자에 대해 정리되어 있다면 대입법이 편합니다. 반대로 같은 문자의 계수가 같거나 반대라면 가감법이 빠릅니다.
풀이 방법은 정답의 일부가 아니라 계산을 관리하는 선택입니다. 두 방법으로 구한 해는 같아야 하므로 시간이 허락하면 다른 방법을 검산으로 사용할 수 있습니다.
정리
가감법을 고르는 순서
- 두 식의 x항·y항·상수항을 세로로 맞춥니다.
- 가장 작은 곱으로 계수를 같거나 반대로 만들 문자를 고릅니다.
- 필요하면 식 전체에 수를 곱한 뒤 더하거나 뺍니다.
- 남은 한 문자를 구하고 원래 식에 대입합니다.
- 해를 두 원래 식 모두에서 검산합니다.
확인
혼자서 확인해 보기
1. x+2y=8, 3x−2y=8을 푸세요.
풀이와 답 보기
- 두 식을 더하면 4x=16이므로 x=4입니다.
- 첫째 식에 넣으면 4+2y=8이므로 y=2입니다.
답 x=4, y=2
2. 3x+2y=12, 2x−3y=5에서 어느 문자를 먼저 없애는 것이 좋을까요?
풀이와 답 보기
x와 y 모두 최소공배수 6으로 맞출 수 있습니다. x를 없애려면 첫째 식에 2, 둘째 식에 −3을 곱하고, y를 없애려면 첫째 식에 3, 둘째 식에 2를 곱합니다. 어느 쪽도 가능하지만 부호를 적게 바꾸는 y 소거가 편할 수 있습니다.
FAQ
자주 묻는 질문
두 식을 빼는 순서는 정해져 있나요?
어느 식에서 어느 식을 빼도 풀 수 있습니다. 다만 한 줄 안에서 모든 항에 같은 순서를 적용해야 합니다.
식 전체에 음수를 곱해도 되나요?
등식의 양변 모든 항에 같은 음수를 곱하면 같은 관계가 유지됩니다. 부호를 바꿀 때 상수항까지 빠뜨리지 마세요.
가감법과 대입법의 답이 다르면 어떻게 하나요?
구한 순서쌍을 두 원래 식에 넣어 어느 계산이 어긋났는지 확인합니다. 두 방법이 정확하다면 같은 해가 나옵니다.
출처
참고한 자료
- OpenStax, Solve Systems of Equations by Elimination ↗
등식의 덧셈 성질, 계수 소거, 특수한 해의 경우를 확인했습니다.
- OpenStax, Solving Systems by Substitution ↗
가감법과 대입법을 고르는 기준을 대조했습니다.