문자에 음수를 대입할 때 괄호가 필요한 순간

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들어가며

x=−3을 −x²+2x에 넣을 때 −−3²+2−3처럼 이어 쓰면 어느 마이너스가 문자 값에 속하고 어느 마이너스가 원래 식에 있던 것인지 구분하기 어렵습니다. 대입에서 괄호는 보기 좋게 만드는 표시가 아니라 값 전체를 하나의 수로 보호하는 경계입니다.

문자에 음수나 분수, 여러 항으로 된 식을 대입할 때는 그 값 전체를 괄호 안에 넣습니다. 그런 다음 원래 연산 순서대로 계산해야 합니다. 이 글은 부호·제곱·계수·분모가 함께 나오는 예제를 통해 대입과 식의 변형을 서로 다른 작업으로 나누어 확인합니다.

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대입은 문자 하나를 값 전체로 바꾸는 일입니다

3x에서 x=−2라면 3×(−2)입니다. 3−2로 바꾸면 곱셈이 뺄셈으로 바뀌어 다른 식이 됩니다. 문자에 값을 넣는다는 말은 그 문자를 원래 주변 연산을 유지하면서 값 전체로 교체한다는 뜻입니다. 계수와 문자가 붙어 있던 곱셈도 보이게 써 줍니다.

분수 x=1/2를 넣을 때 3x=3×(1/2)로 쓰는 것도 같은 원리입니다. 문자가 여러 번 등장하면 모든 위치를 바꾸어야 합니다. 2x+x²에서 앞의 x만 대입하고 뒤에 문자를 남기면 수의 값을 구하는 계산이 끝나지 않습니다. 값 표를 먼저 만들고 문자가 나온 위치를 하나씩 표시하세요.

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제곱이 감싸는 범위를 먼저 읽습니다

−x²와 (−x)²는 다릅니다. 전자는 x를 제곱한 뒤 음수 부호를 적용하고 후자는 −x 전체를 제곱합니다. x=−3이면 값은 각각 −9와 9입니다. 대입 때문에 괄호를 넣는 것과 원래 식의 연산 범위를 새로 바꾸는 것을 혼동하지 않아야 합니다.

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둘 이상의 문자에서는 값 표를 유지합니다

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분모는 계산을 시작하기 전에 0인지 확인합니다

(2a−b)/(a+1)에 a=−1, b=2를 넣으면 분모가 −1+1=0입니다. 분자를 계산해 −4를 얻어도 0으로 나눌 수 없으므로 식의 값은 정의되지 않습니다. 계산을 많이 했다는 이유로 −4나 0을 최종 답으로 쓰면 안 됩니다.

문자 분모가 있는 식은 주어진 값이 원래 정의역 안에 있는지 먼저 확인합니다. 약분 가능한 모양이 보이더라도 원래 분모 조건은 유지합니다. 예를 들어 (a+1)/(a+1)을 1로 줄일 수 있는 범위는 a≠−1입니다. a=−1을 넣고 간단한 식 1만 보면 원래 식이 정의되지 않은 경우를 잘못 포함하게 됩니다.

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괄호 안 연산과 계수의 곱을 단계별로 나눕니다

대입을 먼저 하는 방법과 올바르게 전개한 뒤 대입하는 방법은 같은 결과를 내야 합니다. 두 값이 다르면 계산을 길게 반복하기보다 처음 다른 값을 만든 줄을 비교합니다. 괄호의 범위, 음수 곱셈, 마지막 뺄셈이 서로 다른 위험 지점입니다.

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분수를 대입할 때 전체 거듭제곱을 유지합니다

x=−1/2를 x²에 넣으면 (−1/2)²=1/4입니다. 분자뿐 아니라 분모도 두 번 곱해집니다. −1²/2처럼 적으면 원래 대입식과 다른 범위로 읽힐 수 있으므로 분수 값 전체를 괄호로 묶습니다. 계수 8과 곱하면 8×1/4=2입니다.

x²+2x에 같은 값을 넣으면 1/4−1=−3/4입니다. 제곱이 음수 부호를 포함한 값 전체에 적용된다는 점과 2x는 두 배라는 점을 나누어 계산해야 합니다. 결과가 분수일 때에는 공통분모를 만든 뒤 더하고, 중간에 소수로 반올림해 정확한 값의 관계를 흐리지 않는 편이 좋습니다.

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값 검산과 식의 항등성 검사는 다릅니다

한 값을 넣어 두 식이 같게 나왔다고 두 식이 항상 같은 것은 아닙니다. x²과 2x는 x=2에서 둘 다 4이지만 x=3에서는 9와 6으로 다릅니다. 대입은 주어진 값에서의 결과를 구하거나 잘못된 식을 찾는 도구이고, 모든 값에서 같은지를 확인하려면 일반적인 전개 근거가 필요합니다.

대입을 마친 뒤에는 문자 위치를 모두 바꿨는지, 원래 연산을 유지했는지, 정의되지 않는 분모가 없는지, 다른 올바른 계산 경로와 결과가 같은지 네 가지를 확인합니다. 음수 부호를 덜 쓰기 위해 괄호를 생략하기보다 한 줄 더 남기는 편이 나중에 오류를 추적하기 쉽습니다.