들어가며
2x와 x²은 숫자 2와 문자 x가 함께 보이지만 뜻은 전혀 다릅니다. 2x는 x를 두 번 더한 값이고, x²은 x를 자기 자신과 곱한 값입니다.
이 차이를 놓치면 식의 값뿐 아니라 넓이, 인수분해, 함수에서도 같은 실수가 반복됩니다. 기호를 소리 내어 읽고 연산을 풀어 쓰는 습관부터 바로잡아 봅니다.
두 배와 제곱을 연산으로 풀어 씁니다
2x는 2×x이며 x+x와 같습니다. x²은 x×x입니다. 두 식은 x=2일 때 우연히 모두 4가 되지만 일반적으로 같지 않습니다.
기호를 볼 때 ‘이 엑스’, ‘엑스 이’라고만 읽지 말고 ‘x의 두 배’, ‘x의 제곱’이라고 읽으면 뜻을 놓치지 않습니다.
한 값만 넣지 말고 다른 값으로 비교합니다
x=2에서는 2x와 x²이 같기 때문에 차이를 확인하기 어렵습니다. x=3, x=1, x=−3처럼 다른 수를 넣어 보면 두 식의 변화가 분명합니다.
직접 풀어보기
x=−3일 때 2x와 x²의 값을 각각 구하세요.
- 2x=2×(−3)=−6입니다.
- x²=(−3)×(−3)=9입니다.
- 두 배는 부호가 그대로 음수이고, 제곱은 음수 두 개를 곱해 양수가 됩니다.
답 2x=−6, x²=9
검산 2x는 (−3)+(−3)=−6이고 x²은 (−3)×(−3)=9입니다.
문장 속 표현으로 연산을 결정합니다
‘어떤 수의 두 배’는 2x, ‘어떤 수의 제곱’은 x²입니다. ‘한 변이 x인 정사각형의 넓이’도 x×x이므로 x²입니다.
‘제곱의 두 배’와 ‘두 배의 제곱’도 다릅니다. x²의 두 배는 2x²이고, 2x의 제곱은 (2x)²=4x²입니다.
합의 제곱은 각 항의 제곱만 더한 것이 아닙니다
(x+2)²은 (x+2)(x+2)입니다. x²과 2² 사이에 두 개의 2x가 생기므로 x²+4x+4가 됩니다. 가운데 항을 빼먹는 실수가 자주 나옵니다.
정사각형의 한 변을 x와 2로 나누어 넓이를 그려 보면 x², 2x 두 개, 4의 네 부분이 보입니다.
직접 풀어보기
한 변의 길이가 (x+2)cm인 정사각형의 넓이를 전개하고, x=5일 때 확인하세요.
- 넓이는 (x+2)²입니다.
- (x+2)(x+2)=x²+2x+2x+4=x²+4x+4입니다.
- x=5를 넣으면 25+20+4=49입니다.
답 x²+4x+4 cm², x=5일 때 49cm²
검산 실제 한 변은 7cm이므로 넓이 7²=49cm²와 같습니다.
괄호와 음수의 위치를 확인합니다
(−3)²은 음수 −3 전체를 두 번 곱해 9입니다. 하지만 −3²은 거듭제곱을 먼저 계산한 뒤 앞의 음수 부호를 붙이므로 −9입니다.
문자에 음수를 대입할 때는 반드시 괄호를 씁니다. x²에 x=−3을 넣으면 (−3)²이라고 적어야 부호를 정확히 처리할 수 있습니다.
단위가 연산의 뜻을 알려 줍니다
길이를 두 배로 하면 단위는 여전히 cm입니다. 정사각형의 넓이를 구하면 길이를 두 번 곱하므로 단위가 cm²가 됩니다. 답의 단위를 보면 두 배와 제곱을 바꿔 썼는지 확인할 수 있습니다.
한 변이 두 배가 된 정사각형의 넓이는 두 배가 아니라 네 배가 됩니다. (2x)²=4x²이기 때문입니다.
- 길이의 두 배: 2x cm
- 한 변이 x인 정사각형의 넓이: x² cm²
- 한 변이 2x인 정사각형의 넓이: 4x² cm²
넓이 그림은 언제 사용할 수 있을까요
(x+2)²의 넓이 분할은 x를 양의 길이로 해석할 때 직접 그릴 수 있습니다. x=3이면 x²=9, 두 2x 영역은 각각 6, 작은 정사각형은 4라서 25가 됩니다. 그림은 가운데 항 4x가 왜 필요한지 보여 줍니다.
문자식 (x+2)²=x²+4x+4는 모든 실수 x에서 성립합니다. x가 음수일 때에도 분배법칙으로 확인할 수 있지만 음의 길이를 같은 넓이 그림에 억지로 넣으면 안 됩니다. 그림의 적용 조건과 식의 적용 범위를 구분하세요.
| x | (x+2)² | x²+4x+4 | 잘못된 x²+4 |
|---|---|---|---|
| 3 | 25 | 25 | 13 |
| −1 | 1 | 1 | 5 |
| 0 | 4 | 4 | 4 |
x=0 하나만 넣으면 잘못된 식도 같은 값이 나옵니다. 반례를 여러 값에서 찾는 이유이며, 식이 항상 맞다는 증명은 전개 과정으로 해야 합니다.
정리
이것만은 기억하세요
- 2x는 x+x이고 x²은 x×x입니다.
- x=2에서 두 식이 같아도 일반적으로 같은 식은 아닙니다.
- 합을 제곱할 때는 가운데 곱셈 항을 빠뜨리지 않습니다.
- 음수를 대입할 때는 괄호를 쓰고, 길이와 넓이의 단위를 구분합니다.
확인
혼자서 확인해 보기
1. x=4일 때 x²+2x의 값을 구하세요.
풀이와 답 보기
- x²=4²=16입니다.
- 2x=2×4=8입니다.
- 16+8=24입니다.
답 24
검산 원래 식에 한 번에 대입하면 4×4+2×4=16+8=24입니다.
2. 한 변의 길이가 7cm인 정사각형의 둘레와 넓이를 각각 구하세요.
풀이와 답 보기
- 둘레는 한 변의 네 배이므로 4×7=28cm입니다.
- 넓이는 한 변의 제곱이므로 7²=49cm²입니다.
답 둘레 28cm, 넓이 49cm²
검산 둘레의 단위는 cm, 넓이의 단위는 cm²로 서로 다릅니다.
FAQ
자주 묻는 질문
2x와 x²은 언제 같나요?
2x=x²을 정리하면 x(x−2)=0이므로 x=0 또는 x=2일 때 같습니다. 특정 값에서 같다고 두 식이 항상 같은 것은 아닙니다.
(2x)²이 왜 2x²이 아닌가요?
괄호 안의 2와 x를 모두 두 번 곱하므로 (2x)(2x)=4x²입니다.
음수의 제곱은 항상 양수인가요?
음수 전체를 괄호에 넣어 제곱하면 양수입니다. 다만 −3²처럼 괄호가 없으면 거듭제곱을 먼저 계산해 결과가 −9가 됩니다.
정의와 성질을 더 확인할 자료
OpenStax — 합의 제곱과 곱셈 공식. 관련 정의와 연산 성질을 대조할 공개 교재입니다. 위 비교 예제·표·도식은 알지요에서 새로 구성했으며 외부 교재의 문제나 이미지를 복제하지 않았습니다.