방정식과 항등식은 등호가 같아도 왜 다를까

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들어가며

2(x+3)=2x+6과 2(x+3)=14는 둘 다 문자 x와 등호를 사용하지만 질문이 다릅니다. 첫 식은 허용된 모든 x에서 같은 값을 만드는 관계이고, 둘째 식은 특정 x를 찾아야 하는 조건입니다. 문자식에 등호가 있다는 이유만으로 모두 같은 방식의 문제로 풀면 ‘해가 없다’와 ‘항상 같다’를 혼동할 수 있습니다.

방정식은 등식을 만족하는 값을 찾는 관점이고, 항등식은 정해진 범위의 모든 값에서 성립하는 등식입니다. 실제 계산에서는 양변을 정리했을 때 문자가 사라지는 일이 있으므로 남은 상수 문장의 의미까지 읽어야 합니다. 아래에서는 실수 범위의 일차식부터 시작하고 분모의 정의 조건을 따로 확인합니다.

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식의 값과 식을 만족시키는 값을 나눕니다

문자식 2(x+3)은 x를 넣으면 한 값이 나옵니다. x=4일 때 14, x=0일 때 6입니다. 여기에 ‘14와 같다’라는 조건을 붙인 2(x+3)=14는 x=4일 때 성립하지만 x=0에서는 성립하지 않습니다. 따라서 이 방정식의 해는 모든 수가 아니라 조건을 만족하는 x=4입니다.

반면 2(x+3)=2x+6은 양변이 분배법칙으로 같은 표현이 됩니다. x=4에서는 둘 다 14이고 x=0에서는 둘 다 6입니다. 여러 값을 넣어 확인하는 것과 모든 값에서 같다는 이유를 설명하는 것은 구분합니다. 항등식의 근거는 몇 개의 대입 결과가 아니라 분배법칙으로 두 표현이 같은 식이 된다는 점입니다.

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항등식에는 적용하는 수의 범위가 필요합니다

(x−2)(x+2)=x²−4는 실수 x에 대해 항상 성립합니다. 왼쪽을 분배하면 x²+2x−2x−4가 되어 가운데 항이 사라집니다. x가 양수인지 음수인지와 관계없이 같은 전개가 성립하므로 모든 실수에서 항등식입니다.

그러나 (x−2)/(x−2)=1은 x=2에서 왼쪽 분모가 0입니다. x≠2라는 정의역 안에서는 성립하지만 ‘모든 실수에서 같다’고 쓰면 틀립니다. 약분한 1이 정의된다고 원래 식의 분모 조건이 사라지는 것은 아닙니다. 식을 간단히 만든 뒤에도 원래 허용 범위를 함께 보관해야 합니다.

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방정식의 해는 원래 등식에 넣어 확인합니다

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문자가 사라졌을 때 0=0을 해석합니다

0=0을 보고 x=0이라고 적으면 남은 상수 문장에 없던 문자를 끼워 넣은 것입니다. x가 없다는 사실은 x를 0으로 정했다는 뜻이 아닙니다. ‘문자가 모두 사라졌고 남은 문장이 참이다’라는 결론을 먼저 쓰세요.

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문자가 사라졌을 때 모순이면 해가 없습니다

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몇 번의 대입은 항등식 증명이 되지 않습니다

x²=x를 x=0과 x=1에서 확인하면 둘 다 맞습니다. 하지만 x=2를 넣으면 4=2로 거짓이 됩니다. 두 번의 성공이 모든 실수에서의 성공을 뜻하지 않습니다. 이 식은 x(x−1)=0으로 정리하면 x=0 또는 x=1만 해로 갖는 방정식입니다.

반례 한 개는 ‘모든 값에서 같다’는 주장을 깨뜨릴 수 있지만, 몇 개의 맞는 예시는 그 주장을 일반적으로 증명하지 못합니다. 식을 전개하거나 공통 성질을 사용해 허용 범위 전체에서 같은 표현이 된다는 근거가 필요합니다. 대입은 틀린 주장을 찾는 데 특히 유용하고, 일반적인 같음을 보이는 역할은 별도 논리로 수행합니다.

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질문의 문구에 따라 답의 형식을 바꿉니다

‘x의 값을 구하시오’라면 조건을 만족하는 값을 제시합니다. ‘두 식이 항상 같은지 설명하시오’라면 값을 몇 개 적는 것보다 전개 과정과 허용 범위를 보여 주어야 합니다. ‘어떤 x에서 같아지는가’라면 같다는 등식을 만들어 방정식의 해를 찾는 문제가 됩니다.

정리 결과가 x=숫자이면 유일한 해, 항상 참인 상수 등식이면 허용 범위의 모든 값, 거짓인 상수 등식이면 해 없음이라는 세 가지 상황을 나누어 기록합니다. 문자식의 분모·제곱근·문제의 자연수 조건이 있다면 허용 범위를 먼저 정해야 합니다. 같은 계산 결과도 문제에서 정한 범위에 따라 답으로 채택되는 값이 달라질 수 있습니다.