들어가며
x/3+(x−1)/2=4를 보자마자 분모를 지우고 x+x−1=4라고 쓰면 식 전체가 바뀝니다. 분모를 없애는 과정은 기호를 삭제하는 일이 아니라 등식의 양변 전체에 공통배수를 곱하는 일입니다. 오른쪽 상수와 괄호 안 모든 항에도 같은 연산이 적용되어야 합니다.
분수 계수의 방정식에서는 분모의 최소공배수로 식을 정리하면 정수 계수의 계산으로 바꿀 수 있습니다. 그러나 이 과정이 잘못되면 뒤의 이항·나눗셈을 정확히 해도 원래 문제의 답이 나오지 않습니다. 어떤 항에 무엇을 곱했는지 한 줄씩 남기고, 해는 맨 처음 분수 식에 넣어 확인합니다.
분모의 공통배수는 양변 전체에 곱합니다
x/3+(x−1)/2=4에서 분모 3과 2의 최소공배수는 6입니다. 양변에 6을 곱하면 6×(x/3)+6×((x−1)/2)=6×4가 됩니다. 각각 약분해 2x+3(x−1)=24입니다. 분모를 없앴지만 모든 항의 값이 같은 비율로 바뀌어 등식의 해는 유지됩니다.
오른쪽 4를 그대로 둔 2x+3(x−1)=4는 원래 등식과 다른 식입니다. 왼쪽 항만 곱한 셈이기 때문입니다. 여러 항이 더해진 식에서는 바깥의 6이 전체를 감싸는 괄호에 분배된다는 점을 먼저 표시하세요. 공통배수를 고르는 일과 그 수를 모든 항에 적용하는 일은 서로 다른 확인 단계입니다.
| 원래 항 | 6을 곱한 항 | 확인 |
|---|---|---|
| x/3 | 2x | 6÷3=2 |
| (x−1)/2 | 3(x−1) | 6÷2=3, 괄호 유지 |
| 오른쪽 4 | 24 | 상수항도 6배 |
최소공배수는 수를 작게 만드는 선택입니다
분모 4와 6이 나오면 공통배수 12를 쓸 수 있습니다. 24나 48을 곱해도 같은 해를 갖는 방정식이 되지만 계수가 커집니다. 최소공배수를 쓰는 이유는 해가 달라져서가 아니라 계산량과 숫자를 줄이기 위해서입니다. 선택한 수가 모든 분모의 배수인지만 먼저 확인합니다.
분모 하나가 1인 정수 항도 예외가 아닙니다. x/4−2=3/2라면 4를 곱할 때 −2가 −8, 오른쪽 3/2가 6이 됩니다. 정수 항은 분모가 없으니 그대로 둬도 된다는 생각이 자주 오류를 만듭니다. 분모가 있는 항뿐 아니라 등식에 등장한 모든 항을 체크 표시로 따라가 보세요.
괄호 안에서는 두 번째 항까지 전개합니다
직접 풀어보기
x/3+(x−1)/2=4를 푸세요.
- 양변에 6을 곱해 2x+3(x−1)=24로 만듭니다.
- 분배법칙으로 3(x−1)=3x−3임을 확인합니다.
- 2x+3x−3=24에서 5x=27입니다.
- 양변을 5로 나누어 x=27/5입니다.
답 x=27/5
검산 원래 식에 넣으면 (27/5)/3=9/5, ((27/5)−1)/2=11/5입니다. 합은 20/5=4로 원래 오른쪽과 같습니다.
분모를 없앤 직후에는 괄호가 없어지는 것이 아닙니다. 3(x−1)은 다음 전개 단계에서 3x−3으로 바꿉니다. 두 변환을 한꺼번에 머릿속으로 처리하다가 −1만 남기면 마지막 해가 달라집니다. 분모 약분과 괄호 전개를 분리해 쓰면 처음 어긋난 줄을 찾기 쉽습니다.
뺄셈 앞의 분수도 부호를 유지합니다
직접 풀어보기
x/4−1/6=5/12를 푸세요.
- 분모 4,6,12의 최소공배수 12를 고릅니다.
- 모든 항에 12를 곱해 3x−2=5로 정리합니다.
- 양변에 2를 더하면 3x=7입니다.
- 양변을 3으로 나누어 x=7/3입니다.
답 x=7/3
검산 원래 왼쪽은 (7/3)/4−1/6=7/12−2/12=5/12입니다. 뺄셈 부호를 그대로 유지한 결과입니다.
| 잘못된 중간 식 | 빠진 조건 또는 연산 |
|---|---|
| 3x+2=5 | 원래 1/6 앞의 뺄셈을 더하기로 바꿈 |
| x−1=5 | 12/4,12/6의 배수를 반영하지 않음 |
| 3x−2=5/12 | 오른쪽에 12를 곱하지 않음 |
분모 자체에 문자가 있으면 허용 범위를 먼저 적습니다
1/(x−2)=3은 x≠2에서만 정의됩니다. 그 조건을 적고 양변에 x−2를 곱하면 1=3(x−2), x−2=1/3, x=7/3을 얻습니다. x=7/3은 처음 제외한 2와 다르고 원래 식에 넣어 3이 나오므로 해로 채택할 수 있습니다.
문자 분모가 있는 경우에는 숫자 분모만 있는 기본 방정식보다 확인 단계가 늘어납니다. 곱하는 표현이 0이 되지 않는 범위가 중요합니다. 식을 정리해서 후보가 나왔다는 이유만으로 모두 원래 해라고 부를 수는 없습니다. 원래 분모 조건과 원래 등식 대입이라는 두 확인을 끝내야 합니다.
분모를 곱해 만든 후보가 원래 식에서 사라질 수 있습니다
(x−1)/(x−1)=2의 원래 조건은 x≠1입니다. 분모를 곱해 x−1=2(x−1)로 만들면 계산상 x=1이라는 후보가 나옵니다. 하지만 그 값은 처음 분모를 0으로 만들므로 원래 방정식의 해가 아닙니다. 허용 범위에서는 왼쪽이 항상 1이라 2와 같아질 수 없어 해가 없습니다.
이 사례는 기본적인 분수 계수 방정식과 문자 분모 방정식을 같은 수준의 절차로 처리하면 안 되는 이유입니다. 원래 조건을 함께 남기지 않으면 변형 과정에서 허용되지 않던 값이 후보로 섞일 수 있습니다. ‘분모를 지웠으니 조건도 사라졌다’는 식으로 해석하지 마세요.
검산에서는 소수로 바꾸기보다 원래 분수를 유지합니다
x=27/5를 5.4로 쓸 수 있는 예제라도 원래 분수 식에 정확한 분수로 대입하면 약분과 공통분모의 흐름을 보기 쉽습니다. 순환소수가 되는 해를 미리 반올림하면 양변이 약간 다르게 나와 계산 오류인지 근삿값 효과인지 구분하기 어려워집니다. 문제에서 요구하지 않았다면 정확한 분수 답을 유지합니다.
풀이의 확인 순서는 분모 0 여부, 공통배수, 모든 항의 곱, 괄호 전개, 원래 식 대입입니다. 분모를 없애기 위해 사용한 공통배수는 0이 아니며 식의 양변을 같은 비율로 바꿉니다. 계산을 짧게 만든 목적과 원래 해를 보존하는 근거가 함께 보이도록 첫 변환 줄을 쓰세요.
정리
다음 문제에서 확인할 기준
- 분모의 공통배수를 등식의 모든 항에 곱합니다.
- 약분 직후의 괄호와 원래 부호를 유지합니다.
- 문자 분모는 0이 되는 값을 먼저 제외합니다.
- 해 후보는 정확한 값으로 맨 처음 분수 식에 대입합니다.
확인
해설을 가리고 직접 확인해 보기
1. x/2+x/3=5를 푸세요.
풀이와 답 보기
양변에 6을 곱해 3x+2x=30, 5x=30입니다.
답 x=6
검산 6/2+6/3=3+2=5입니다.
2. x/4−2=3/2를 푸세요.
풀이와 답 보기
양변에 4를 곱하면 x−8=6이므로 x=14입니다.
답 x=14
검산 14/4−2=3.5−2=1.5=3/2입니다.
3. 1/(x+1)=2의 해와 제외값을 구하세요.
풀이와 답 보기
x≠−1에서 1=2(x+1), 2x=−1을 얻습니다.
답 해 x=−1/2, 제외값 −1
검산 분모는 1/2이므로 1÷(1/2)=2입니다.
FAQ
자주 묻는 질문
최소공배수 대신 분모를 전부 곱해도 되나요?
0이 아닌 공통배수라면 가능합니다. 다만 중간 계수가 커져 실수 가능성이 늘 수 있으므로 보통 최소공배수를 선택합니다.
분모를 없앨 때 정수 항도 바뀌나요?
그렇습니다. 등식의 양변 전체에 같은 수를 곱하므로 정수 항과 오른쪽 상수도 같은 비율로 바꿉니다.
변형한 식을 만족하면 원래 해도 맞나요?
변환이 원래 허용 범위에서 동치인지 확인해야 합니다. 문자 분모가 0인 후보는 변형식에서 맞더라도 원래 식에 넣을 수 없어 제외됩니다.
정의와 조건을 확인한 자료
- OpenStax — 분수와 다단계 방정식
양변의 동치 변환과 괄호·계수 처리의 기본을 확인합니다.
- OpenStax — 공통분모
공통배수 선택과 분수의 같은 값 변환을 대조합니다.
본문의 비교 사례·연습문제·표는 해당 정의를 설명하기 위해 새로 구성한 예시입니다. 외부 교재의 문제나 이미지를 옮긴 자료가 아닙니다.