두 물건의 가격을 구할 때 연립방정식이 필요한 이유

00

들어가며

공책 두 권과 펜 세 자루의 합계만 알 때에는 두 물건의 가격을 각각 하나로 정할 수 없습니다. 한 번의 구매가 가격의 관계 한 줄을 알려 줄 뿐이기 때문입니다. 서로 다른 구성의 두 번째 구매가 있다면 그 조건을 함께 만족하는 가격을 찾을 수 있습니다.

연립방정식을 세우는 일은 가감법 계산보다 앞에 있습니다. 미지수가 한 물건의 가격인지 묶음의 총액인지, 두 구매에서 단가가 같은지, 할인이나 추가 비용이 없는지를 정해야 합니다. 아래 가격과 구매 내역은 식의 구조를 설명하기 위해 구성한 가상 예시이며 실제 판매 가격이나 소비 조언이 아닙니다.

01

미지수는 단가와 단위를 붙여 정의합니다

공책 한 권의 가격을 x원, 펜 한 자루의 가격을 y원이라고 둡니다. 공책 두 권의 가격은 2x원, 펜 세 자루의 가격은 3y원입니다. 두 종류의 합계가 6900원이면 2x+3y=6900입니다. x를 ‘공책 값’이라고만 적으면 한 권 값인지 두 권 값인지 혼동할 수 있으므로 처음부터 단가를 명시합니다.

문제의 각 수가 개수인지 금액인지도 나눕니다. ‘공책 두 권’의 2는 개수이고 x는 한 권당 금액입니다. 이 둘을 곱해 원 단위의 전체 금액을 얻습니다. 같은 식에서 왼쪽 각 항과 오른쪽은 모두 금액이어야 합니다. 표가 단위를 먼저 정리해 주면 맞는 숫자를 잘못된 위치에 넣는 실수가 줄어듭니다.

02

각 문장을 독립적인 조건 한 줄로 옮깁니다

두 번째 구매에서 공책 세 권과 펜 두 자루의 합계가 8600원이면 3x+2y=8600입니다. 첫째 식을 만족하는 값이어도 둘째 식을 만족하지 않으면 두 구매를 설명한 해가 아닙니다. 연립방정식의 해는 두 조건을 동시에 만족하는 순서쌍이라는 점을 먼저 읽습니다.

이 표에는 두 번의 구매에서 같은 공책·같은 펜의 단가를 사용했다는 가정이 있습니다. 두 번째 구매에 할인 쿠폰이나 배송비가 있다면 그 정보를 별도 항으로 반영해야 합니다. 같은 가격이라는 조건이 없는 실제 영수증 두 장을 그대로 비교해 단가를 결정할 수 있다고 말해서는 안 됩니다. 식은 상황의 가정 안에서 맞아야 합니다.

03

두 식의 한 종류를 없애 단가를 구합니다

04

한 구매만으로는 여러 가격 조합이 가능합니다

첫 식 2x+3y=6900만 보면 x=2400,y=700도 맞고 x=3000,y=300도 맞습니다. 양의 단가라는 조건을 붙여도 가능한 조합이 여러 개일 수 있습니다. 미지수가 두 개라는 사실만으로 언제나 식 두 개가 반드시 유일한 답을 만드는 것도 아니므로 두 조건의 관계를 읽어야 합니다.

두 번째 식이 첫 식의 단순한 배수라면 새 정보가 늘지 않습니다. 4x+6y=13800은 첫 식에 2를 곱한 것으로, 같은 구매 구성을 두 배 한 정보입니다. 이 두 식은 단가를 독립적으로 고르는 새로운 비교를 제공하지 않습니다. 이름만 두 식이라고 해서 미지수가 자동으로 두 개 정해지는 것은 아닙니다.

05

단가의 합이라는 추가 조건도 식으로 연결합니다

06

해가 없다는 결과는 자료와 가정도 다시 보게 합니다

같은 단가를 유지하는데 공책 네 권과 펜 여섯 자루가 13000원이었다면 첫 구매의 두 배인 13800원과 맞지 않습니다. 계산을 억지로 고쳐 가격을 만들어 내지 말고, 숫자를 잘못 읽었는지 또는 구매 조건이 달라졌는지 확인합니다. 할인·다른 상품·묶음 가격 같은 추가 정보가 있으면 모델의 가정을 바꿔야 할 수 있습니다.

수학적으로 모순이라는 말이 실제 자료 전체가 거짓이라는 뜻은 아닙니다. 지금 세운 두 단가의 모델이 동시에 설명하지 못한다는 뜻입니다. 문제에서 같은 상품·고정 단가·추가 비용 없음이 명시되어 있다면 해 없음으로 결론낼 수 있지만 실제 거래에는 그 조건을 별도 확인해야 합니다.

07

순서쌍의 숫자를 물건 이름과 연결합니다

x=2400,y=700을 구한 뒤 가격이 작은 펜부터 답을 쓰더라도 변수의 뜻을 바꾸면 안 됩니다. ‘(2400,700)’이라는 순서쌍은 x,y 순서이고 공책·펜이라는 대상과 연결되어 있습니다. 문제에서 펜만 묻는다면 최종 답은 700원이며 두 단가를 모두 쓰는 것이 요구와 다를 수 있습니다.

가격 단위를 백 원으로 두는 다른 풀이도 가능합니다. 공책 가격을 u백 원, 펜 가격을 v백 원으로 놓으면 2u+3v=69, 3u+2v=86입니다. 해 u=24,v=7을 구한 다음 원 단위로 되돌려야 합니다. 숫자를 작게 만든 단위 선택과 실제 금액 답을 구분하세요.

08

검산은 식뿐 아니라 상황 조건에도 합니다

두 식에 대입해 합계가 맞는지 확인한 뒤 단가가 양수인지, 개수가 정수인지, 문제에서 요구한 화폐 단위와 맞는지 확인합니다. 계산으로 음수 가격이 나온다면 식을 잘못 세웠는지 또는 상황 가정이 불가능한지를 다시 검토해야 합니다. 음수도 대입에서 맞을 수 있다는 사실과 실제 단가로 허용된다는 판단은 다릅니다.

새 구매의 합계를 묻는 문제라면 구한 단가로 추가 계산을 합니다. 공책 네 권과 펜 한 자루는 4×2400+700=10300원입니다. 원래 합계 두 개를 단순히 더하는 계산이 아니라 새 구성의 개수에 맞게 항을 만드는 단계가 필요합니다. 질문의 마지막 대상까지 확인해야 연립방정식 활용이 끝납니다.