들어가며
2<5의 양변에 3을 곱하면 6<15지만 −3을 곱하면 −6>−15입니다. 숫자 두 개를 같은 수로 바꿨는데 순서가 뒤집히는 이유를 이해하지 못하면 일차부등식의 마지막 나눗셈 단계에서 실수하기 쉽습니다.
등식에서는 음수로 곱하거나 나누어도 같음이 유지됩니다. 부등식은 같음뿐 아니라 수직선의 순서를 말하므로 음수의 방향 반전까지 반영해야 합니다. 이 글에서는 양수·음수·0을 구분하고, 구한 해가 경계값과 대표값에서 원래 부등식을 만족하는지 확인합니다.
수직선의 오른쪽과 왼쪽으로 부등호를 읽습니다
2<5는 2가 5보다 왼쪽에 있다는 뜻입니다. 두 수에 −1을 곱하면 각각 −2와 −5가 되어 −2가 −5보다 오른쪽입니다. 따라서 −2>−5입니다. 같은 0을 기준으로 방향이 반전된 그림으로 보면 부등호가 달라지는 이유가 드러납니다.
음수 곱셈을 절댓값만 키우는 연산으로 생각하면 이 순서를 놓칠 수 있습니다. 곱하는 수의 절댓값은 0에서의 거리 배율을 바꾸고, 음수 부호는 방향을 바꿉니다. −3을 곱하면 방향 반전에 세 배의 거리 변화까지 함께 적용됩니다. 결과 수의 크기는 새 위치에서 다시 읽어야 합니다.
| 연산 | 왼쪽 값 | 오른쪽 값 | 새 순서 |
|---|---|---|---|
| 처음 | 2 | 5 | 2<5 |
| 양변 ×3 | 6 | 15 | 6<15 |
| 양변 ×(−3) | −6 | −15 | −6>−15 |
더하기와 빼기는 간격을 바꾸지 않습니다
2<5의 양변에 4를 더하면 6<9입니다. 양변에서 7을 빼면 −5<−2입니다. 두 수를 같은 방향으로 같은 거리만큼 이동시키는 연산이므로 순서는 그대로입니다. 뺀 결과가 음수가 되었다는 이유만으로 부등호를 뒤집지 않습니다.
부등호를 바꾸는 기준은 답에 음수가 보이는지 여부가 아니라 양변을 음수로 곱하거나 나눴는지 여부입니다. ‘−7을 뺐다’와 ‘−7을 곱했다’는 다른 연산입니다. 부등식을 한 줄씩 적을 때 각 줄 옆에 수행한 연산을 짧게 표시하면 부호가 등장했다는 모양에 끌리지 않고 정확한 규칙을 선택할 수 있습니다.
음수 계수로 나누는 마지막 줄에서 방향을 바꿉니다
직접 풀어보기
−2x+3≤11을 실수 범위에서 푸세요.
- 양변에서 3을 빼면 −2x≤8입니다. 뺄셈이므로 부등호는 유지합니다.
- 양변을 음수 −2로 나눌 때 부등호 방향을 바꿉니다.
- x≥−4입니다. 등호가 포함된 조건은 그대로 포함합니다.
- 경계값 x=−4와 그보다 큰 대표값 x=0을 원래 부등식에 넣습니다.
답 x≥−4
검산 x=−4에서는 11≤11, x=0에서는 3≤11입니다. 반대쪽 x=−5를 넣으면 13≤11이 거짓이라 해가 아닌 쪽도 확인됩니다.
수직선에서 경계와 포함 여부를 따로 표시합니다
x>−4와 x≥−4는 방향이 같아도 경계값 포함 여부가 다릅니다. 전자는 −4에서 빈 점, 후자는 채운 점으로 표시합니다. 방향을 고친 뒤 등호까지 임의로 없애거나 붙이지 않아야 합니다. 반직선 그림이 원래 질문과 같은 집합을 나타내는지 별도로 읽으세요.
정수 해만 요구하는 문제라면 x>−4의 가장 작은 정수 해는 −3입니다. 실수 해라면 −4보다 큰 가장 작은 실수는 존재하지 않습니다. ‘가장 작은 해’를 묻는 문장의 수 범위를 확인하지 않고 정수 경계처럼 답하면 다른 문제를 푼 것이 됩니다.
0으로 곱하면 원래 부등식과 동치가 아닙니다
2<5의 양변에 0을 곱하면 0<0이 되어 거짓입니다. 2≤5의 양변에 0을 곱하면 0≤0이 참이지만, 서로 다른 원래 값의 순서 정보가 모두 사라집니다. 0을 곱한 결과가 참이라고 원래 모든 부등식이 참이 되는 것은 아닙니다.
방정식이나 부등식을 풀 때는 원래 조건과 같은 해를 갖는 변환인지 확인합니다. 0이 아닌 수로 나누는 것은 가능하지만 0으로 나누는 것은 정의되지 않습니다. 양수로 곱하기·나누기는 방향 유지, 음수로 곱하기·나누기는 방향 반전, 0은 별도 상황이라는 세 갈래로 정리해 두면 문자 계수에서도 조건을 잊지 않습니다.
문자로 곱하거나 나눌 때는 부호를 먼저 알아야 합니다
a<b의 양변에 x를 곱한다고 할 때 x>0이면 ax<bx, x<0이면 ax>bx입니다. x=0에서는 두 값이 같아집니다. x의 부호가 정해지지 않았다면 한 가지 부등호 방향을 고정해 쓸 수 없습니다. 숫자 계수의 규칙을 문자에도 적용하되 부호 조건을 앞에 남겨야 합니다.
예를 들어 1/x>0은 x가 양수일 때 성립하며 x=0은 정의되지 않습니다. 양변에 x를 아무 조건 없이 곱해 1>0만 남기면 음수 x도 해처럼 보입니다. 이 글의 일차부등식 예제는 나누는 계수가 고정된 0이 아닌 수이므로 그 부호를 확정할 수 있습니다. 문자 분모가 등장하는 문제는 허용 범위와 부호 경우를 따로 나누는 단계가 추가됩니다.
경계값 한 번과 양쪽 대표값으로 검산합니다
직접 풀어보기
5−2x≥13을 풀고 양쪽 값으로 확인하세요.
- 양변에서 5를 빼면 −2x≥8입니다.
- −2로 나누며 방향을 바꾸면 x≤−4입니다.
- 경계 x=−4는 왼쪽이 13이라 포함됩니다.
- x=−5에서는 15≥13으로 참, x=0에서는 5≥13으로 거짓입니다.
답 x≤−4
검산 부등식의 해는 하나의 수가 아니라 값의 범위입니다. 경계와 양쪽 대표값을 확인하면 방향·등호 포함 오류를 나누어 찾을 수 있습니다.
대표값 대입은 찾은 해의 방향이 자연스러운지 보는 보조 검산입니다. 모든 값을 하나씩 넣어 증명하는 대신 각 연산이 동치인 이유를 계산 과정에 남겨야 전체 해집합을 정당화할 수 있습니다. 그림과 대입이 맞아도 나눗셈의 0 조건을 빠뜨리지 않았는지 마지막으로 확인합니다.
정리
다음 문제에서 확인할 기준
- 더하기·빼기는 부등호 방향을 유지합니다.
- 0이 아닌 음수로 곱하거나 나누면 방향을 바꿉니다.
- 등호 포함 여부와 해의 방향을 별도로 기록합니다.
- 문자 계수나 분모는 부호와 0 조건을 먼저 나눕니다.
확인
해설을 가리고 직접 확인해 보기
1. −3x<12를 풀어 보세요.
풀이와 답 보기
양변을 −3으로 나누면 방향이 바뀌어 x>−4입니다.
답 x>−4
검산 x=0은 참, x=−5는 거짓이며 x=−4는 12<12라 제외됩니다.
2. x/(−4)≤2를 풀어 보세요.
풀이와 답 보기
양변에 −4를 곱하며 방향을 바꾸면 x≥−8입니다.
답 x≥−8
검산 x=−8에서는 2≤2, x=0에서는 0≤2입니다.
3. 2x−7<1의 정수 해 중 가장 큰 값을 구하세요.
풀이와 답 보기
양변에 7을 더해 2x<8, 양수 2로 나누어 x<4입니다.
답 가장 큰 정수 해는 3
검산 x=3은 −1<1이고 x=4는 1<1이라 제외됩니다.
FAQ
자주 묻는 질문
답이 음수가 되면 부등호를 바꾸나요?
아닙니다. 양변에 수행한 연산이 음수 곱셈·나눗셈인지 확인합니다. 음수를 더하거나 빼서 음수 결과가 나오는 일은 방향 반전의 조건이 아닙니다.
등호가 포함된 부등식도 방향을 바꾸나요?
음수로 곱하거나 나누면 ≤는 ≥로, ≥는 ≤로 바꿉니다. 등호 포함 여부는 유지합니다.
대표값 하나만 넣어 참이면 해를 다 찾은 건가요?
그 값이 해임만 확인한 것입니다. 전체 범위는 동치 변환으로 구하고 경계와 양쪽 대입을 보조 확인에 사용합니다.
정의와 조건을 확인한 자료
- OpenStax — 일차부등식
양수·음수로 곱하거나 나누는 부등식 성질과 해의 표시를 확인합니다.
- OpenStax — 수직선의 순서
음수의 위치와 순서 반전을 수직선 관점으로 대조합니다.
본문의 비교 사례·연습문제·표는 해당 정의를 설명하기 위해 새로 구성한 예시입니다. 외부 교재의 문제나 이미지를 옮긴 자료가 아닙니다.