들어가며
a²×a³=a⁵라는 식을 익힌 뒤 2³+2⁴도 2⁷이라고 쓰는 실수가 생길 수 있습니다. 지수법칙은 모든 연산에서 지수를 다루는 마법의 규칙이 아니라, 같은 인수를 몇 번 곱했는지를 짧게 적은 약속입니다. 밑이 같은지와 연산이 곱셈인지부터 확인해야 합니다.
자연수 지수는 반복 곱셈으로 설명할 수 있습니다. 0 지수와 음의 지수는 0이 아닌 밑에서 기존 법칙이 이어지도록 확장한 정의입니다. 이 글에서는 기본 법칙을 계산 원리로 읽고, 0·음수·덧셈에서 사용할 수 없는 조건을 분리해 확인합니다.
같은 밑의 곱에서는 인수 개수를 합합니다
a²은 a×a이고 a³은 a×a×a입니다. 두 식을 곱하면 a가 다섯 번 곱해지므로 a⁵입니다. 이때 지수 2와 3을 더하는 이유는 같은 인수 a의 개수를 모으기 때문입니다. 밑이 다르면 2²×3³처럼 서로 다른 인수가 섞여 있으므로 하나의 밑에 지수 5를 붙일 수 없습니다.
지수법칙을 쓰기 전 식의 맨 위 연산을 읽어 보세요. 2³+2⁴는 8+16=24이지 2⁷=128이 아닙니다. 덧셈에서는 인수의 개수를 연결하지 않습니다. 같은 밑이 보인다는 조건만으로 부족하며 그 사이가 곱셈이라는 조건까지 있어야 지수의 덧셈이 정당해집니다.
| 식 | 먼저 할 판단 | 결과 |
|---|---|---|
| 2³×2⁴ | 같은 밑의 곱 | 2⁷=128 |
| 2³+2⁴ | 거듭제곱 계산 뒤 덧셈 | 8+16=24 |
| 2³×3³ | 지수가 같아 (2×3)³ 가능 | 6³=216 |
거듭제곱을 다시 거듭제곱하면 묶음 수를 곱합니다
직접 풀어보기
(3²)³을 반복 곱셈과 지수법칙으로 각각 계산하세요.
- (3²)³은 3²이라는 묶음을 세 번 곱한 것입니다.
- (3×3)×(3×3)×(3×3)에 3이 여섯 번 들어갑니다.
- 따라서 지수는 2×3=6이며 3⁶입니다.
- 3²=9를 먼저 구해 9³=729로도 계산할 수 있습니다.
답 729
검산 3⁶=729와 9³=729가 같습니다. 지수를 더한 3⁵=243은 묶음의 인수 개수를 세지 못한 결과입니다.
곱의 거듭제곱은 각 인수를 모두 거듭제곱합니다
(2x)³은 (2x)(2x)(2x)입니다. 숫자 2도 세 번, 문자 x도 세 번 곱해져 8x³이 됩니다. x에만 지수 3을 붙인 2x³은 원래 식과 다릅니다. 괄호가 감싼 전체가 세 번 반복된다는 뜻을 먼저 풀어 쓰면 계수의 지수를 빠뜨리지 않습니다.
반면 (a+b)²를 a²+b²로 바꾸는 법칙은 없습니다. 두 항의 합을 두 번 곱하면 ab와 ba라는 가운데 항이 생깁니다. 곱의 거듭제곱과 합의 거듭제곱을 구분하세요. 지수법칙의 괄호가 같은 모양으로 보이더라도 안의 연산이 곱인지 합인지에 따라 전개 결과가 달라집니다.
| 원래 식 | 반복을 풀어쓴 식 | 결과 |
|---|---|---|
| (2x)³ | (2×2×2)(x×x×x) | 8x³ |
| (a+b)² | (a+b)(a+b) | a²+2ab+b² |
| (ab)² | (ab)(ab) | a²b² |
같은 밑의 나눗셈에는 0이 아닌 조건이 붙습니다
직접 풀어보기
5⁶÷5²를 계산하고 약분으로 확인하세요.
- 분자에 5가 여섯 번, 분모에 두 번 곱해져 있습니다.
- 분모의 5가 0이 아니므로 두 인수를 약분할 수 있습니다.
- 네 인수가 남아 5⁴입니다. 같은 밑에서 지수 6−2를 읽은 결과입니다.
- 5⁴=625입니다.
답 625
검산 625×5²=625×25=15625=5⁶입니다. 나눗셈의 결과를 곱셈으로 되돌려 확인합니다.
aᵐ÷aⁿ을 aᵐ⁻ⁿ으로 정리할 때는 나누는 식이 0이 아니어야 합니다. 밑 a=0이면 양의 지수의 분모가 0이 되므로 같은 약분 설명을 사용할 수 없습니다. 문자식의 정리에서도 처음 붙은 a≠0 조건을 결과 옆에 유지합니다.
0 지수는 0이 아닌 밑에서 1로 정의합니다
3³÷3³=1입니다. 지수의 차이 법칙을 유지하면 같은 식을 3⁰으로 쓰므로 3⁰=1입니다. 숫자 3에 한정하지 않고 a≠0이면 aᵐ/aᵐ=1이라는 관계로 a⁰=1을 이해할 수 있습니다. 이것은 a를 0번 더한다는 뜻이 아니라 곱셈 법칙을 확장한 정의입니다.
이 설명의 출발점은 분모 aᵐ이 0이 아니라는 조건입니다. 밑에 0을 넣어 0⁰까지 무조건 1이라고 결론내릴 수 없습니다. 학교 수준의 이 지수법칙에서는 0⁰을 사용하지 않습니다. 다른 맥락의 별도 정의와 섞지 말고 지금 사용하는 식의 조건을 먼저 적어 둡니다.
음의 지수는 음수 값이 아니라 역수를 뜻합니다
2²÷2⁵를 약분하면 1/2³=1/8입니다. 지수 차이로는 2⁻³이므로 2⁻³=1/8입니다. 지수의 마이너스는 결과에 음수 부호를 붙이라는 뜻이 아니라 0이 아닌 밑의 양의 거듭제곱을 분모에 놓는다는 뜻입니다. −2³=−8과 2⁻³=1/8을 구분하세요.
(−2)⁻³은 1/(−2)³=−1/8입니다. 밑 자체가 음수인 경우에는 괄호가 그 범위를 정하고, 음의 지수는 역수를 정합니다. 0에 음의 지수를 적용하면 분모가 0이 되어 정의되지 않습니다. 음의 밑과 음의 지수는 비슷한 부호를 사용해도 역할이 서로 다릅니다.
| 표현 | 뜻 | 값 |
|---|---|---|
| −2³ | 2³의 반대수 | −8 |
| (−2)³ | 밑 −2를 세 번 곱함 | −8 |
| 2⁻³ | 2³의 역수 | 1/8 |
| (−2)⁻³ | (−2)³의 역수 | −1/8 |
혼합 식에서는 적용한 법칙을 한 줄씩 남깁니다
직접 풀어보기
2³×2⁻⁵를 계산하세요.
- 밑 2는 0이 아니며 사이의 연산은 곱셈입니다.
- 같은 밑의 곱으로 지수를 더해 2³⁻⁵=2⁻²입니다.
- 음의 지수를 역수로 읽어 1/2²=1/4입니다.
- 처음 두 값을 8과 1/32로 계산한 곱도 1/4입니다.
답 1/4
검산 8×(1/32)=8/32=1/4로 같은 결과입니다. 지수 −2를 숫자 결과 −4로 바꾸지 않습니다.
제곱·곱셈·덧셈이 함께 나오면 연산 순서를 유지해야 합니다. 먼저 거듭제곱을 정리하고 곱셈을 처리한 뒤 덧셈을 합니다. 적용할 수 있는 법칙이 보인다는 이유로 덧셈 기호를 가로질러 지수를 합치지 않습니다. 표현을 짧게 만든 것과 다른 연산을 만든 것을 구분하는 검산이 필요합니다.
정리
다음 문제에서 확인할 기준
- 같은 밑인지와 곱·나눗셈인지 먼저 확인합니다.
- 거듭제곱의 거듭제곱은 반복 묶음의 인수 개수로 설명합니다.
- 나눗셈·0 지수·음의 지수에는 0이 아닌 밑 조건을 남깁니다.
- 음의 지수와 결과의 음수 부호를 구분합니다.
확인
해설을 가리고 직접 확인해 보기
1. 3²×3³을 계산하세요.
풀이와 답 보기
같은 밑의 곱이므로 3⁵=243입니다.
답 243
검산 9×27=243으로도 확인됩니다.
2. (2a)²과 2a²이 같은 식인지 판단하세요.
풀이와 답 보기
(2a)²=4a²이며 2a²과 일반적으로 다릅니다.
답 같은 식이 아닙니다.
검산 a=1을 넣으면 4와 2로 다릅니다. a=0에서 같다는 한 사례는 항등식의 증명이 아닙니다.
3. 4⁻²와 0⁻²의 값을 판단하세요.
풀이와 답 보기
4⁻²=1/4²=1/16입니다. 0⁻²는 1/0²이 되어 정의되지 않습니다.
답 1/16, 정의되지 않음
검산 역수의 분모가 0인지 각각 확인합니다.
FAQ
자주 묻는 질문
a⁰=1은 a가 어떤 수여도 성립하나요?
이 법칙에서는 a≠0입니다. 분모가 0이 아닌 같은 거듭제곱끼리 나눈다는 근거에 그 조건이 포함됩니다.
밑이 다르고 지수가 같으면 아무것도 못 하나요?
곱이라면 aⁿbⁿ=(ab)ⁿ으로 묶을 수 있는 경우가 있습니다. 같은 밑의 지수 덧셈과 다른 법칙이며 연산과 조건을 확인합니다.
지수가 음수면 값도 음수인가요?
아닙니다. 음의 지수는 역수입니다. 밑 2의 음의 거듭제곱은 양수이며 밑이 음수일 때에는 지수의 홀짝과 괄호를 함께 봅니다.
정의와 조건을 확인한 자료
- OpenStax — 지수와 다항식 용어
자연수 지수와 항·연산 표현의 기본 구분을 확인합니다.
- OpenStax — 지수의 곱셈 성질
동일한 밑의 곱과 거듭제곱의 구조를 대조합니다.
- OpenStax — 정수 지수의 확장
0이 아닌 조건과 나눗셈·지수 표현을 확인합니다.
본문의 비교 사례·연습문제·표는 해당 정의를 설명하기 위해 새로 구성한 예시입니다. 외부 교재의 문제나 이미지를 옮긴 자료가 아닙니다.