들어가며
보조선을 많이 그을수록 도형 문제가 쉬워지는 것은 아닙니다. 필요한 성질을 만들지 못하는 선은 정보만 늘립니다.
구하려는 것이 넓이라면 높이, 길이라면 직각삼각형이나 닮음, 각이라면 평행선이나 합동처럼 먼저 사용할 성질을 정하세요. 보조선은 그 성질에 필요한 점들을 연결합니다.
목표를 먼저 말로 정합니다
길이를 구하는 문제와 각을 구하는 문제는 필요한 선이 다릅니다. ‘높이가 필요하다’, ‘같은 길이의 두 변을 이용하고 싶다’, ‘평행선의 각 성질이 필요하다’처럼 목표를 한 문장으로 정합니다.
그은 뒤 사용할 공식이나 성질을 말할 수 없다면 아직 근거가 약한 선입니다. 문제에 표시된 같은 길이, 평행, 직각, 원의 중심을 다시 살펴봅니다.
- 넓이: 밑변에 수직인 높이
- 길이: 직각삼각형, 닮음, 합동
- 각: 평행선, 삼각형의 내각과 외각
- 원: 중심과 접점 또는 원 위의 점을 연결한 반지름
넓이를 구할 때는 높이를 먼저 만듭니다
삼각형과 사다리꼴의 넓이는 밑변에 수직인 높이가 필요합니다. 기울어진 변의 길이는 높이가 아닐 수 있으므로 꼭 직각 표시를 확인합니다.
사다리꼴의 윗변 양 끝에서 아랫변에 수선을 내리면 가운데 직사각형과 양옆 삼각형으로 나눌 수 있습니다. 이 분할은 사다리꼴 넓이 공식도 확인해 줍니다.
직접 풀어보기
윗변 6cm, 아랫변 10cm, 높이 4cm인 사다리꼴의 넓이를 구하세요.
- 윗변의 양 끝에서 아랫변에 수선을 내려 높이 4cm를 표시합니다.
- 사다리꼴의 넓이는 (윗변+아랫변)×높이÷2입니다.
- (6+10)×4÷2=32입니다.
답 32cm²
검산 평균 밑변 길이는 (6+10)÷2=8cm이고 8×4=32cm²입니다.
이등변삼각형에서는 꼭짓점과 밑변의 중점을 잇습니다
이등변삼각형의 꼭짓점에서 밑변의 중점으로 선을 그으면 양쪽 삼각형이 합동이 됩니다. 그래서 그 선은 밑변에 수직이고 꼭짓각도 이등분합니다.
이 한 선으로 밑변이 반으로 나뉘고 직각삼각형이 생겨 피타고라스 정리를 사용할 수 있습니다.
직접 풀어보기
같은 두 변이 13cm이고 밑변이 10cm인 이등변삼각형의 넓이를 구하세요.
- 꼭짓점에서 밑변의 중점까지 보조선을 그으면 밑변은 5cm씩 나뉩니다.
- 높이를 h라 하면 직각삼각형에서 h²+5²=13²입니다.
- h²=169−25=144이므로 h=12cm입니다. 길이는 양수이므로 −12는 제외합니다.
- 넓이는 10×12÷2=60cm²입니다.
답 60cm²
검산 5²+12²=25+144=169=13²이고, 두 직각삼각형의 넓이 합도 2×(5×12÷2)=60cm²입니다.
평행선은 각을 옮기는 통로가 됩니다
각의 크기를 직접 더하기 어려울 때 한 점을 지나 기존 변과 평행한 선을 긋습니다. 동위각과 엇각을 이용하면 떨어져 있던 각을 한 점 주변으로 옮겨 합을 볼 수 있습니다.
평행하다는 근거 없이 비슷해 보이는 선을 평행하게 취급하면 안 됩니다. 새로 평행선을 그었다면 어떤 변과 평행한지 표시합니다.
원에서는 중심과 접점을 연결합니다
원의 중심에서 원 위의 점을 이으면 반지름이 생기고, 모든 반지름의 길이가 같다는 정보를 쓸 수 있습니다. 접선 문제에서는 중심과 접점을 이은 반지름이 접선과 수직입니다.
현의 수직이등분선이 중심을 지난다는 성질도 자주 쓰입니다. 중심이 표시되어 있다면 먼저 어떤 점과 연결할지 살펴보세요.
한 번에 여러 선을 긋지 말고 한 선씩 검증합니다
보조선 하나를 그은 뒤 새로 생긴 삼각형과 각을 확인합니다. 필요한 성질이 생기지 않았다면 지우고 다른 목표를 시도합니다. 선을 겹쳐 그으면 어느 선이 근거에 쓰였는지 놓치기 쉽습니다.
완성된 풀이에서는 보조선을 그은 이유를 한 문장으로 적습니다. ‘높이를 만들기 위해 수선을 내린다’처럼 목적이 보이면 이후 계산도 따라가기 쉽습니다.
- 새로 생긴 직각·평행·같은 길이를 표시했는가
- 그 표시를 뒷받침하는 조건이나 성질이 있는가
- 보조선으로 실제 사용할 공식이 생겼는가
정리
이것만은 기억하세요
- 보조선보다 먼저 구할 양과 사용할 성질을 정합니다.
- 넓이에는 높이, 길이에는 직각삼각형·닮음·합동을 만드는 선을 찾습니다.
- 원에서는 중심과 접점 또는 원 위의 점을 연결해 반지름을 만듭니다.
- 새로 생긴 직각과 평행에는 반드시 근거가 있어야 합니다.
확인
혼자서 확인해 보기
1. 한 변의 길이가 8cm인 정사각형의 대각선 길이를 구하세요.
풀이와 답 보기
- 대각선을 그으면 두 변이 각각 8cm인 직각삼각형이 생깁니다.
- 대각선을 d라 하면 d²=8²+8²=128입니다.
- d=√128=8√2이고 길이이므로 양수만 택합니다.
답 8√2cm
검산 (8√2)²=128=64+64입니다.
2. 같은 두 변이 13cm이고 밑변이 24cm인 이등변삼각형의 넓이를 구하세요.
풀이와 답 보기
- 꼭짓점에서 밑변의 중점에 보조선을 그으면 밑변은 12cm씩 나뉩니다.
- 높이를 h라 하면 h²+12²=13²이므로 h²=25, h=5입니다.
- 넓이는 24×5÷2=60입니다.
답 60cm²
검산 5²+12²=13²이고 두 반쪽 넓이의 합은 2×(12×5÷2)=60cm²입니다.
FAQ
자주 묻는 질문
보조선은 정답에 나온 것과 달라도 되나요?
문제의 조건에서 출발해 올바른 성질을 사용하고 결론에 도달한다면 다른 보조선도 가능합니다. 다만 그 선을 그은 이유와 새로 생긴 관계를 설명해야 합니다.
어디에 수선을 내려야 할지 모르겠어요.
넓이에서 밑변으로 사용할 변을 먼저 정하고, 맞은편 꼭짓점에서 그 밑변 또는 밑변의 연장선에 수선을 내립니다.
그림이 직각처럼 보이면 직각으로 써도 되나요?
안 됩니다. 직각 표시, 수직 조건, 접선과 반지름의 성질처럼 확인할 근거가 있어야 합니다. 도형은 설명을 돕는 그림이지 측정 도구가 아닙니다.