최대공약수와 최소공배수는 문제에서 어떻게 구별할까

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들어가며

공약수와 공배수는 이름이 비슷해서 문제의 ‘가장 큰’이나 ‘가장 작은’ 표현만 보고 고르기 쉽습니다. 그러나 가장 큰 수를 묻는 문장이라고 항상 최대공약수인 것은 아닙니다. 무엇을 같은 크기로 나누는지, 무엇을 같은 시점이나 총량으로 맞추는지를 먼저 읽어야 합니다.

최대공약수는 여러 수를 모두 나눌 수 있는 크기를, 최소공배수는 여러 수의 반복이 함께 도달하는 총량을 다룹니다. 같은 24와 36을 사용해도 포장 개수 문제와 반복 시간 문제의 답은 다르게 나옵니다. 이 글은 두 문제를 같은 표 안에서 대조하고 단위와 나머지 조건으로 선택을 확인합니다.

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나누어떨어지는 방향을 말로 적습니다

24의 약수 6은 24÷6이 정수라는 뜻입니다. 24의 배수 72는 72÷24가 정수라는 뜻입니다. 두 수가 나누어떨어진다는 말은 같지만 무엇을 무엇으로 나누는지의 방향이 반대입니다. 숫자 이름만 외우지 말고 나눗셈을 한 줄 써 보세요.

24와 36의 공약수는 두 수를 모두 나누어떨어지게 하는 양의 정수입니다. 두 수의 공배수는 24와 36 각각으로 나누었을 때 정수가 되는 양의 정수입니다. 기본적인 최대공약수·최소공배수 문제에서는 양의 정수 범위를 쓰므로 0이나 음수의 배수를 무조건 후보 목록에 넣지 않습니다. 수의 범위가 다른 문제는 정의와 요구 조건을 별도로 확인합니다.

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동일한 꾸러미를 최대한 많이 만드는 문제입니다

이 문제의 최대공약수 12는 한 꾸러미 안의 구슬 수가 아니라 꾸러미의 개수입니다. 한 꾸러미 안의 전체 구슬은 5개입니다. 숫자 12를 찾았다는 사실만으로 답을 끝내면 문제에서 묻는 양의 단위를 잘못 붙일 수 있습니다.

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같은 길이 조각으로 자르는 문제의 단위는 다릅니다

28cm와 42cm 리본을 남김없이 같은 길이의 조각으로 자르려면 조각 길이가 28과 42의 공약수여야 합니다. 가능한 가장 긴 길이는 14cm입니다. 첫 리본은 2조각, 둘째 리본은 3조각이 됩니다. 앞의 구슬 문제와 공약수를 쓰는 원리는 같지만 답의 단위는 개수가 아니라 cm입니다.

공약수의 후보 1,2,7,14를 실제 조각 길이로 해석하면 14cm를 선택하는 이유가 보입니다. 잘라 낸 조각이 정수 개수이고 남김이 없다는 두 조건이 핵심입니다. 리본을 일부 버려도 된다는 조건이나 조각마다 여유 길이가 필요한 조건이 추가되면 같은 최대공약수 계산만으로는 답을 정할 수 없습니다.

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반복이 같은 시점에 만나는 문제는 공배수입니다

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소인수분해에서는 공통 부분과 필요한 전체가 다릅니다

24=2³×3, 36=2²×3²입니다. 두 수에 공통으로 들어 있는 소인수의 가장 적은 개수만 모으면 최대공약수 2²×3=12가 됩니다. 두 수를 모두 배수로 포함할 만큼 필요한 가장 많은 개수를 모으면 최소공배수 2³×3²=72가 됩니다.

최소공배수에서 소인수 2와 3을 무조건 한 번씩만 곱하면 6이 되어 두 수의 배수가 아닙니다. 최대공약수에서 큰 지수를 선택하면 72가 되어 두 수를 나누는 크기가 아닙니다. 지수의 최솟값·최댓값이라는 규칙은 ‘모두에 공통으로 들어 있는가’와 ‘각 수를 모두 포함하는가’라는 정의에서 확인해야 합니다.

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두 수의 곱 관계는 계산 뒤 검산에 사용합니다

양의 정수 두 개에 대해서는 최대공약수와 최소공배수의 곱이 두 수의 곱과 같습니다. 24와 36에서는 12×72=864, 24×36=864입니다. 소인수별로 작은 지수와 큰 지수를 합하면 원래 두 지수의 합과 같다는 점으로 이해할 수 있습니다.

이 관계를 세 수에 그대로 적용하면 일반적으로 성립하지 않습니다. 2,4,8의 최대공약수는 2, 최소공배수는 8이지만 곱 16은 세 수의 곱 64와 다릅니다. 두 수용 검산이라는 적용 범위를 기록하세요. 한 결과를 다른 결과에서 계산할 수 있어도 처음 선택한 값이 정의를 만족하는지 확인하는 일이 먼저입니다.

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말의 크기보다 문제의 행동으로 고릅니다

‘최대한 많이’라는 말이 나왔을 때에도 나누는 문제인지 모으는 문제인지 읽어야 합니다. 동일 꾸러미를 남김없이 최대한 많이 만들 때는 공약수이고, 일정 수씩 담긴 상자를 모아 두 종류의 전체 개수를 처음 같게 만들 때는 공배수가 될 수 있습니다. 비교 대상과 단위가 결정되기 전에는 최대·최소라는 형용사만으로 고르지 않습니다.

답을 찾은 뒤에는 모든 원래 양을 사용했는지, 나머지가 없는지, 더 큰 공약수나 더 작은 양의 공배수가 없는지 순서대로 확인합니다. 공약수와 공배수를 둘 다 계산해 놓고 아무 값이나 고르는 방식보다 ‘누가 누구를 나누는가’를 첫 줄에 적는 방식이 생각의 출발점을 분명하게 합니다.