들어가며
경우의 수를 세고 답만 맞추려 하면 무엇을 빠뜨렸는지 또는 두 번 셌는지 알아보기 어렵습니다. 나열·표·수형도는 같은 기본 결과를 빠짐없이 한 번씩 기록하기 위한 도구입니다. 곱셈과 덧셈 공식은 이 기록을 짧게 만든 결과로 읽어야 합니다.
순서가 결과를 바꾸는지, 같은 대상을 다시 선택할 수 있는지, 첫 선택에 따라 다음 선택지가 달라지는지가 세는 방법을 결정합니다. 아래에서는 옷 조합·두 자리 수·두 사람 선택·배수 조건을 비교하며, 결과의 정의를 먼저 정하는 연습을 합니다.
하나의 결과가 무엇인지 처음에 정의합니다
상의 3종류와 하의 2종류 중 각각 하나를 선택한 옷 조합을 생각해 봅니다. 결과는 상의 하나와 하의 하나의 짝입니다. 색 이름이나 물건 이름을 구별할 기준이 없다면 결과가 같은지 다른지를 판단할 수 없습니다. 먼저 A,B,C 상의와 1,2 하의처럼 표기 기준을 정합니다.
모든 상의가 모든 하의와 함께 선택 가능하면 A1,A2,B1,B2,C1,C2의 여섯 결과입니다. 한 조합이 금지되거나 같은 것으로 취급되는 조건이 있다면 그 조건을 반영해야 합니다. 세는 대상의 정의를 생략한 채 3×2를 곧바로 쓰는 습관은 선택 제한이 있는 문제에서 오류를 만들 수 있습니다.
| 상의 | 하의 1 | 하의 2 |
|---|---|---|
| A | A1 | A2 |
| B | B1 | B2 |
| C | C1 | C2 |
곱셈은 각 단계의 선택을 연결합니다
상의 선택 3가지 각각에 하의 선택 2가지가 이어지므로 전체가 3×2=6입니다. 신발 2종류를 추가해 모든 조합이 가능하면 각 여섯 결과에 두 신발 선택이 붙어 12가지입니다. 단계별 선택을 연결하는 구조이므로 곱셈을 사용합니다.
첫 선택에 따라 다음 선택 수가 달라지면 동일한 수를 일괄 곱할 수 없습니다. A상의에는 하의 두 개가 가능하고 B에는 한 개, C에는 두 개라면 전체는 2+1+2=5입니다. 각 가지 끝을 모은 뒤 합하는 방식입니다. 곱셈과 덧셈은 서로 대립하는 암기 규칙이 아니라 선택 구조의 다른 부분에서 사용됩니다.
두 자리 수에서는 첫 자리의 0과 중복 조건을 확인합니다
직접 풀어보기
숫자 0,1,2를 중복 없이 사용해 만들 수 있는 두 자리 자연수를 모두 구하세요.
- 십의 자리에는 0을 넣을 수 없으므로 1 또는 2입니다.
- 십의 자리 1이면 일의 자리는 0 또는 2여서 10,12입니다.
- 십의 자리 2이면 일의 자리는 0 또는 1여서 20,21입니다.
- 네 결과를 직접 나열해 빠진 것이 없는지 확인합니다.
답 10,12,20,21의 4가지
검산 십의 자리 2가지×각 경우의 일의 자리 2가지=4입니다. 01은 두 자리 자연수로 세지 않고 11은 중복 금지 조건에서 제외합니다.
중복을 허용하면 다음 단계의 후보가 달라집니다
같은 숫자 0,1,2를 중복 가능하게 사용하면 십의 자리는 여전히 1 또는 2지만 일의 자리는 매번 0,1,2 모두 가능합니다. 결과는 10,11,12,20,21,22의 여섯 가지입니다. 중복 허용은 이미 사용한 숫자를 다음 단계에서 제외하지 않는다는 조건입니다.
두 자리의 순서가 바뀌면 12와 21은 다른 수입니다. ‘같은 숫자 두 개를 사용했다’는 이유로 한 가지로 묶지 않습니다. 뒤의 사람 선택 문제처럼 순서가 의미 없는 경우와 구별해야 합니다. 대상을 두 번 사용할 수 있는지와 순서가 결과를 바꾸는지는 별개의 질문이므로 둘을 각각 기록합니다.
| 조건 | 십의 자리 후보 | 각 일의 자리 후보 | 전체 |
|---|---|---|---|
| 중복 불가 | 1,2 | 남은 2개 | 4 |
| 중복 가능 | 1,2 | 0,1,2 | 6 |
역할이 없는 두 사람과 역할이 다른 두 사람은 다릅니다
직접 풀어보기
A,B,C,D 네 사람 중 두 명을 한 팀으로 고릅니다. 역할이 없는 팀의 수와 회장·부회장을 고르는 수를 비교하세요.
- 역할 없는 팀은 AB,AC,AD,BC,BD,CD의 6개입니다.
- AB와 BA는 같은 팀이므로 둘을 따로 세지 않습니다.
- 회장·부회장 역할이 다르면 첫 역할 4명, 다음 역할 남은 3명으로 12가지입니다.
- 회장 A·부회장 B와 회장 B·부회장 A는 서로 다른 결과입니다.
답 역할 없는 팀 6가지, 두 역할 12가지
검산 순서 있는 12가지에서는 각 역할 없는 두 사람 조합이 두 번씩 등장하므로 이번 조건에서 12÷2=6으로도 확인됩니다.
무조건 결과를 2로 나누는 규칙을 만들면 안 됩니다. 지금은 서로 다른 두 사람의 두 순서가 정확히 같은 팀 하나로 묶이기 때문에 가능한 계산입니다. 반복 선택이나 더 많은 역할에서는 같은 중복 횟수인지 먼저 확인해야 합니다. 직접 목록의 구조를 보면 어떤 나눗셈이 정당한지 판단할 수 있습니다.
또는 조건에서는 겹치는 결과를 한 번 빼 줍니다
직접 풀어보기
1부터 12까지 정수 중 2의 배수 또는 3의 배수인 수를 세세요.
- 2의 배수는 2,4,6,8,10,12의 6개입니다.
- 3의 배수는 3,6,9,12의 4개입니다.
- 6과 12는 두 목록 모두에 들어가 두 번 셌습니다.
- 6+4−2=8개이며 전체 목록은 2,3,4,6,8,9,10,12입니다.
답 8개
검산 원래 12개 중 어느 조건에도 들지 않는 1,5,7,11의 4개를 빼도 8입니다.
‘또는’이 둘 중 하나만이라는 뜻인지 둘 다 포함하는지 문제의 표현을 확인하세요. 보통 수학의 포함적 또는에서는 두 조건을 동시에 만족한 결과도 포함하지만 한 번만 셉니다. ‘둘 중 정확히 하나’라는 조건이면 겹친 결과를 최종 집합에서도 제외해야 하므로 다른 답이 됩니다.
세기 검산과 확률 계산의 조건은 따로 확인합니다
모든 결과를 빠짐없이 나열했다고 각 결과가 실제로 같은 확률이라는 뜻은 아닙니다. 옷 조합 여섯 가지 중 한 조합을 더 자주 선택하는 사람의 행동 모형이라면 각 조합의 확률은 달라질 수 있습니다. 경우의 수는 가능한 결과의 수이고 동일 가능성은 확률 모형의 추가 조건입니다.
검산할 때는 결과의 정의, 첫 단계 제한, 중복 허용, 순서 의미, 겹친 집합을 차례대로 확인합니다. 수가 작으면 직접 나열과 단계별 곱셈을 서로 대조하세요. 수가 커지면 체계적인 표나 수형도로 어떤 결과도 두 번 나타나지 않고 어느 가지도 빠지지 않았다는 구조를 보여 주는 것이 중요합니다.
정리
다음 문제에서 확인할 기준
- 하나의 결과를 어떤 기준으로 구별하는지 먼저 정의합니다.
- 중복 허용과 순서 의미를 별도로 확인합니다.
- 단계별 선택 수가 같을 때 곱셈으로 연결합니다.
- 또는 조건의 겹침을 직접 목록에서 찾아 한 번만 셉니다.
확인
해설을 가리고 직접 확인해 보기
1. 숫자 1,2,3으로 중복 없이 두 자리 수를 만드세요.
풀이와 답 보기
십의 자리 3가지에 각각 남은 일의 자리 2가지가 있습니다.
답 12,13,21,23,31,32의 6가지
검산 목록과 3×2가 일치하며 11,22,33은 제외됩니다.
2. 상의 2종류·하의 3종류를 제한 없이 각각 하나 고르면 몇 가지인가요?
풀이와 답 보기
각 상의에 하의 세 종류가 연결됩니다.
답 6가지
검산 2행·3열 표의 모든 칸을 한 번씩 세면 6입니다.
3. 1~10 중 2의 배수 또는 5의 배수는 몇 개인가요?
풀이와 답 보기
2의 배수 5개, 5의 배수 2개 중 10이 겹칩니다.
답 6개
검산 2,4,5,6,8,10의 여섯 수입니다.
FAQ
자주 묻는 질문
언제 곱하고 언제 더하나요?
단계가 이어져 결과의 짝을 만들면 곱하고, 서로 다른 경우의 가지 결과를 모으면 합합니다. 다음 선택 수가 첫 선택에 따라 달라지는지도 확인합니다.
순서가 없으면 항상 2로 나누나요?
정확히 두 번씩 중복됐다는 구조가 있어야 합니다. 결과의 반복 횟수를 확인하지 않은 나눗셈은 다른 조건에서 틀릴 수 있습니다.
같은 수를 두 번 사용한 결과는 언제 제외하나요?
문제에서 중복을 금지할 때 제외합니다. 중복 가능인 번호·선택 문제에서는 그 결과를 포함하므로 조건을 먼저 읽어야 합니다.
정의와 조건을 확인한 자료
- OpenStax — 수형도와 사건의 분류
가능한 결과를 단계별로 정리하고 겹치는 사건을 읽는 방법을 확인합니다.
- OpenStax — 겹침과 사건의 합
사건의 겹친 결과를 중복 없이 모으는 원리를 대조합니다.
본문의 비교 사례·연습문제·표는 해당 정의를 설명하기 위해 새로 구성한 예시입니다. 외부 교재의 문제나 이미지를 옮긴 자료가 아닙니다.