들어가며
절댓값을 ‘마이너스를 없애는 기호’로만 외우면 |x|와 −|x|, |x−2|처럼 문자가 섞인 순간 막히기 쉽습니다. |−4|이 4가 되는 이유는 부호를 지우는 특별한 규칙 때문이 아니라 −4가 0에서 네 칸 떨어져 있기 때문입니다.
절댓값은 수직선 위의 거리를 읽는 기호입니다. 거리의 관점으로 보면 0의 절댓값이 0이고, 같은 절댓값을 갖는 서로 다른 수가 있을 수 있으며, 두 점의 거리를 뺄셈의 절댓값으로 나타낼 수 있다는 사실이 연결됩니다. 계산 전에 절댓값 기호 안팎의 경계를 읽는 연습까지 함께 해 봅니다.
거리와 수의 위치는 다른 정보입니다
−4와 4는 수직선에서 서로 다른 위치에 있지만 0에서의 거리는 둘 다 4입니다. 그래서 |−4|=|4|=4입니다. 절댓값을 알면 0에서 얼마나 떨어졌는지는 알 수 있지만 왼쪽인지 오른쪽인지까지는 정해지지 않습니다. 부호가 주는 방향 정보와 절댓값이 주는 거리 정보를 구분하세요.
거리의 값은 음수가 될 수 없습니다. |0|=0이고 다른 실수의 절댓값은 양수입니다. 따라서 ‘절댓값은 항상 양수’보다 ‘절댓값은 항상 0 이상’이라는 표현이 정확합니다. |x|=−3을 만족하는 실수 x가 없다는 판단도 이 정의에서 바로 나옵니다. 조건이 불가능한지 확인하는 일은 계산보다 먼저 할 수 있습니다.
기호 안을 계산한 뒤 바깥의 연산을 합니다
직접 풀어보기
|3−7|과 |3|−|7|을 각각 구하세요.
- |3−7|에서는 기호 안 3−7=−4를 먼저 계산합니다.
- −4의 절댓값은 4이므로 |3−7|=4입니다.
- |3|−|7|은 3−7이므로 −4입니다.
- 기호가 감싼 범위가 다르므로 두 식의 값도 다릅니다.
답 4와 −4
검산 첫 식은 두 점 3과 7 사이의 거리로 4입니다. 둘째 식은 0에서의 거리 두 개를 뺀 수이며 거리 자체로 정의된 식은 아닙니다.
절댓값을 괄호처럼 다루더라도 덧셈·뺄셈에 임의로 분배하지는 않습니다. |a−b|=|a|−|b|라는 식은 일반적으로 성립하지 않습니다. 지금의 숫자 예시는 두 표현이 다를 수 있음을 보여 주는 반례입니다. 부호를 하나씩 지우는 방식이 아니라 기호 전체 안의 계산 결과를 하나의 수로 읽어야 합니다.
앞에 붙은 마이너스는 절댓값 밖에 있습니다
x=−5일 때 |x|은 5, −|x|은 −5, |−x|은 5입니다. −|x|의 마이너스는 거리 값을 구한 뒤 그 반대수를 만드는 연산입니다. |−x|에서는 기호 안의 −x를 먼저 계산한 뒤 그 수의 거리를 구합니다. 세 식이 비슷하게 보여도 경계가 다릅니다.
x가 양수일 때에도 같은 순서를 유지합니다. x=2이면 |x|=2, −|x|=−2, |−x|=2입니다. 따라서 −|x|은 0 이하이고 |−x|은 0 이상입니다. x=0에서는 둘 다 0이 됩니다. ‘항상 음수’라는 말처럼 0을 빠뜨리는 설명을 피하면 범위가 있는 문제에서도 예외를 놓치지 않습니다.
| x | |x| | −|x| | |−x| |
|---|---|---|---|
| −5 | 5 | −5 | 5 |
| 2 | 2 | −2 | 2 |
| 0 | 0 | 0 | 0 |
두 점의 거리는 차이의 절댓값입니다
직접 풀어보기
수직선의 −4와 2 사이의 거리를 구하세요.
- 한 점에서 다른 점으로의 변화는 2−(−4)=6입니다.
- 반대 순서로 빼면 −4−2=−6입니다.
- 거리는 방향을 구분하지 않으므로 둘 다 절댓값을 취해 6입니다.
- 0을 사이에 둔 두 점이면 4+2=6으로도 확인할 수 있습니다.
답 6
검산 |2−(−4)|=|−4−2|=6입니다. 0을 사이에 두지 않은 두 점에서는 절댓값을 무조건 더하면 안 됩니다.
같은 쪽에 있는 3과 7의 거리는 |7−3|=4입니다. |3|+|7|=10은 두 점의 거리가 아닙니다. 두 점이 0을 사이에 둘 때만 0까지의 거리 두 개를 더하는 그림이 바로 적용됩니다. 위치 조건을 생략한 암기법 대신 차이의 절댓값을 기본 표현으로 남겨 두세요.
절댓값 방정식은 기준점의 양쪽을 봅니다
직접 풀어보기
|x−2|=5를 만족하는 실수 x를 구하세요.
- |x−2|는 x와 2 사이의 거리입니다.
- 2에서 오른쪽으로 5만큼 가면 x=7입니다.
- 2에서 왼쪽으로 5만큼 가면 x=−3입니다.
- 두 값을 각각 기호 안에 넣어 절댓값이 5인지 확인합니다.
답 x=7 또는 x=−3
검산 |7−2|=5, |−3−2|=|−5|=5입니다. 5를 기호 밖으로 옮기는 식으로 풀지 않고 두 방향의 조건을 나눕니다.
합의 절댓값과 절댓값의 합은 같지 않을 수 있습니다
a=−5, b=3이면 |a+b|=|−2|=2이고 |a|+|b|=5+3=8입니다. 방향이 반대인 두 이동은 일부가 상쇄되기 때문입니다. 같은 방향으로 5와 3을 더하는 경우에는 전체 거리도 8이지만 반대 방향의 합은 최종 위치가 달라집니다.
이 예시만으로 절댓값을 포함한 모든 부등식을 증명했다고 할 수는 없습니다. 다만 절댓값을 덧셈에 분배하는 주장이 일반적으로 틀릴 수 있다는 점은 확인됩니다. 문제에서 |a+b|가 나오면 a와 b 각각의 부호를 지우기 전에 합 a+b를 먼저 계산할 수 있는지 봅니다. 문자 상태라면 허용된 부호 조건을 먼저 나누어야 합니다.
측정 변화의 방향과 크기를 구분해 문장으로 씁니다
기온이 −4°C에서 2°C로 바뀌었다는 가상 자료에서는 변화량이 2−(−4)=6°C이고 상승했다고 말합니다. 반대로 2°C에서 −4°C가 되면 변화량은 −6°C이며 하강입니다. 변화의 크기만 묻는다면 둘 다 6°C입니다. 절댓값은 그 방향을 빼고 크기만 남긴 계산입니다.
문제가 ‘몇 도 올랐는가’, ‘변화량은 얼마인가’, ‘얼마나 변했는가’를 어떻게 묻는지에 따라 부호를 남길지 판단합니다. 무조건 양수로 바꾸면 하강이라는 정보를 잃을 수 있고, 거리 질문에 음수 답을 쓰면 정의와 충돌합니다. 기호의 계산과 질문의 요구를 마지막 문장에서 다시 연결하세요.
정리
다음 문제에서 확인할 기준
- 절댓값은 0에서의 거리이므로 0 이상입니다.
- 기호 안 전체를 계산한 뒤 밖의 부호·연산을 적용합니다.
- 두 점의 거리는 두 수의 차이의 절댓값으로 나타냅니다.
- 거리의 크기와 위치·변화의 방향을 다른 정보로 읽습니다.
확인
해설을 가리고 직접 확인해 보기
1. |−8|−|3|을 계산하세요.
풀이와 답 보기
각 절댓값은 8과 3이므로 차이는 5입니다.
답 5
검산 전체를 |−8−3|로 바꾸면 11이 되므로 기호 범위를 유지해야 합니다.
2. −3과 −9 사이의 거리는 얼마인가요?
풀이와 답 보기
차이의 절댓값 |−3−(−9)|=|6|을 계산합니다.
답 6
검산 두 점은 같은 쪽에 있어 절댓값 3과 9의 합 12를 쓰지 않습니다.
3. |x+1|=4의 실수 해를 구하세요.
풀이와 답 보기
x+1=4 또는 x+1=−4를 각각 풉니다.
답 x=3 또는 x=−5
검산 |3+1|=4, |−5+1|=4입니다.
FAQ
자주 묻는 질문
절댓값을 취하면 부호를 전부 지워도 되나요?
기호 안의 계산을 하나의 수로 끝낸 뒤 그 거리 값을 구합니다. 각 항의 부호를 먼저 지우면 덧셈·뺄셈의 결과가 달라질 수 있습니다.
절댓값이 0이면 원래 수도 0인가요?
그렇습니다. 수직선에서 0과의 거리가 0인 점은 0뿐입니다. |x−2|=0이라면 기호 안 x−2가 0이므로 x=2입니다.
두 점을 빼는 순서가 달라도 괜찮나요?
거리는 절댓값을 취하므로 같습니다. 부호를 가진 변화량 자체를 구하는 문제라면 순서를 바꾸면 방향이 바뀌므로 출발·도착을 고정해야 합니다.
정의와 조건을 확인한 자료
- OpenStax — 절댓값과 정수의 위치
절댓값의 거리 정의와 0의 경우를 확인합니다.
- OpenStax — 정수·절댓값 핵심 정의
수직선의 순서와 절댓값의 비음수 조건을 대조합니다.
본문의 비교 사례·연습문제·표는 해당 정의를 설명하기 위해 새로 구성한 예시입니다. 외부 교재의 문제나 이미지를 옮긴 자료가 아닙니다.