확률을 경우의 수로 나누기 전에 확인할 조건

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들어가며

빨강·파랑·흰색 중 한 색이 나오는 장치라고 해서 각각의 확률을 1/3로 정할 수는 없습니다. 가능하다고 이름 붙인 결과가 세 개라는 정보와 각 결과가 같은 정도로 일어난다는 조건은 다릅니다. 확률을 ‘원하는 경우 수÷전체 경우 수’로 구하기 전에 이 차이를 확인해야 합니다.

경우의 수를 이용하는 기본 공식은 세어 놓은 기본 결과들이 같은 가능성을 가질 때 사용할 수 있습니다. 결과를 어떤 단위로 나눴는지, 사건은 그 결과 중 무엇을 모은 것인지, 실제 장치가 그 모형의 가정을 만족하는지를 구분하며 계산해 봅니다.

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기본 결과와 묶어 놓은 사건은 다릅니다

1부터 6까지 눈이 있는 주사위 모형에서는 기본 결과를 각 눈 1,2,3,4,5,6으로 나눌 수 있습니다. 공정한 주사위를 가정하면 각 결과의 확률이 1/6입니다. ‘짝수’라는 사건은 2,4,6의 세 결과를 모은 것이므로 3/6=1/2입니다.

‘짝수’와 ‘홀수’라는 이름을 먼저 두 개 만들었다고 모든 비슷한 분류의 확률이 1/2인 것은 아닙니다. ‘6’과 ‘6이 아님’도 이름은 두 개지만 기본 결과의 개수는 1개와 5개입니다. 사건의 이름 개수가 아니라 동일한 가능성을 갖는 기본 결과를 어떻게 모았는지 확인합니다. 표의 각 칸이 같은 무게로 셀 수 있는 단위인지 먼저 정하세요.

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균일한 회전이라면 각도 비율을 봅니다

세 색 구역의 중심각이 90도,90도,180도인 돌림판을 이상적인 균일 각도 모형으로 생각하면 확률은 각각 90/360,90/360,180/360입니다. 세 구역 모두 가능하지만 각도 비율이 다릅니다. 구역의 이름 세 개를 동일 가능성의 기본 결과 세 개로 취급해 1/3씩 주면 모형과 충돌합니다.

실제 돌림판에서는 마찰·기울기·바늘 구조가 결과에 영향을 줄 수 있습니다. 각도 비율 계산은 균일한 회전을 가정한 이론 모형입니다. 사진이나 도식의 크기만 보고 실제 장치의 공정성을 검증했다고 말하지 않습니다. 문제에서 균일한 모형을 명시한 경우에 그 조건으로 계산합니다.

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주머니에서는 색 이름보다 개별 공의 수를 셉니다

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두 동전에서는 순서를 기록한 기본 결과를 씁니다

공정하고 서로 독립인 동전 두 번의 결과를 순서대로 적으면 앞앞·앞뒤·뒤앞·뒤뒤의 네 가지입니다. 각 경우의 확률이 1/4입니다. 앞면 수로만 묶으면 0개는 뒤뒤 한 경우, 1개는 앞뒤·뒤앞 두 경우, 2개는 앞앞 한 경우입니다.

앞면 수의 가능한 값 0,1,2는 세 개지만 각각 같은 확률이 아닙니다. 한 개의 앞면은 두 기본 경우를 포함해 확률 1/2이고 0개·2개는 1/4입니다. 결과를 묶는 방식에 따라 사건 이름의 수가 달라져도 원래 모형의 확률은 바뀌지 않습니다. 순서가 있는 시행 결과를 먼저 적어 놓으면 묶음의 무게를 확인하기 쉽습니다.

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여사건은 남은 기본 결과를 모읍니다

확률 두 개를 더해서 1이 되는지 확인하는 것만으로 실제 장치가 공정하다고 증명한 것은 아닙니다. 모델 안에서 결과를 빠뜨리지 않았는지 보는 계산 검산입니다. 여사건은 원래 사건에 속하지 않는 전체 결과이며, 서로 다른 조건을 임의로 하나의 나머지로 묶지 않습니다.

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실험 비율과 이론 확률은 다른 정보입니다

공정한 주사위의 짝수 확률이 1/2라고 해서 열 번 던지면 반드시 짝수가 다섯 번 나오는 것은 아닙니다. 이론 확률은 모형의 가능성을 표현하고, 실험 비율은 실제 얻은 횟수를 전체 시행 수로 나눈 값입니다. 유한한 시행에서 두 숫자가 다를 수 있습니다.

실험에서 네 번 짝수가 나왔다면 관찰 비율은 4/10=0.4입니다. 이것만으로 이론 모형 1/2가 틀렸다거나 주사위가 편향됐다고 즉시 결론낼 수는 없습니다. 실제 공정성의 판단에는 자료 수·실험 조건·검정 방식이 필요합니다. 수학 문제의 계산에서 모형 가정과 실제 측정 증거를 혼동하지 않는 것이 핵심입니다.

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답을 검산할 때 가능한 범위와 분류 기준을 함께 봅니다

확률은 0 이상 1 이하입니다. 공 5개 중 파란 3개라는 문제에서 5/3을 쓰면 1보다 크므로 분자·분모의 역할이 바뀌었음을 알 수 있습니다. 반면 2/5도 범위 안에 있으므로 범위 확인만으로 정확한 사건 선택까지 검증되지는 않습니다.

분모가 동일 가능성의 전체 기본 결과인지, 분자가 원하는 사건의 결과만 포함하는지, 겹치는 결과를 두 번 세지 않았는지를 확인하세요. 장치의 결과가 같은 가능성을 갖지 않으면 기본 경우의 수만으로 구하는 공식을 고집하지 않고 주어진 개별 확률이나 적절한 모형을 사용해야 합니다. 세는 방식의 가정이 답의 숫자보다 앞에 있습니다.