동전을 여러 번 던질 때 앞의 결과가 다음을 바꿀까

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들어가며

동전에서 앞면이 세 번 연속 나왔으니 다음에는 뒷면이 나올 차례라고 말하는 생각은 독립 시행의 조건과 맞지 않습니다. 공정한 동전을 서로 독립적으로 던진다는 모형에서는 앞의 결과가 다음 시행의 앞면 확률을 바꾸지 않습니다.

그렇다고 연속 앞면 네 번이라는 전체 사건의 확률이 1/2인 것도 아닙니다. 다음 한 번의 가능성과 처음부터 특정 순서가 이어질 가능성을 구분해야 합니다. 이 글은 동전 모형과 공을 다시 넣지 않는 모형을 비교해 독립·의존·서로 배타적이라는 말을 정확히 나눕니다.

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독립은 앞의 정보가 다음 확률을 바꾸지 않는다는 뜻입니다

공정한 동전의 다음 한 번 앞면 확률은 1/2입니다. 시행들이 독립이라는 조건이면 앞의 세 번이 앞면이었든 뒷면이었든 이 확률은 그대로입니다. 과거 결과의 모양이 균형을 맞추어야 한다는 의무를 다음 시행에 주지 않습니다.

공정성과 독립은 다른 조건입니다. 공정성은 한 시행의 두 면 확률이 같은지, 독립은 앞 시행 정보가 뒤 확률에 영향을 주는지를 말합니다. 한 번의 앞면 확률이 0.6인 편향된 모형도 시행 간에는 독립일 수 있습니다. 반대로 같은 1/2의 주변 확률을 갖더라도 시행들이 서로 연결되어 있으면 독립이라고 할 수 없습니다. 문제의 두 가정을 함께 읽으세요.

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전체 순서 확률과 다음 한 번 확률을 분리합니다

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반복 결과가 정해진 비율로 균형 잡혀야 하는 것은 아닙니다

앞면 세 번 뒤에 뒷면 한 번이 나와도, 앞면이 네 번 이어져도 독립 모형에서 가능할 수 있습니다. 전체 시행 수가 작은 상황에서는 결과 횟수가 기대한 비율과 다를 수 있습니다. ‘다음은 반대 면이 나올 차례’라는 보정 규칙은 모형에 포함되어 있지 않습니다.

많은 시행의 비율이 이론 확률과 가까워질 수 있다는 설명도 다음 한 번의 결과를 확정하는 예언이 아닙니다. 이미 나온 앞면 횟수를 취소하는 힘이 생기는 것은 아닙니다. 이 글은 물리적 동전의 실제 공정성을 측정한 결과를 제시하지 않습니다. 공정·독립이 문제의 전제일 때 어떤 계산이 가능한지를 설명합니다.

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공을 다시 넣지 않으면 다음 분모와 구성이 바뀝니다

전체에서 두 번 모두 파랑일 확률은 (3/5)×(2/4)=3/10입니다. 조건부 질문의 두 번째 확률 1/2와 전체 두 단계 확률 3/10을 또다시 구분합니다. 분모가 줄어드는 것뿐 아니라 어떤 색을 빼었는지가 다음 분자를 바꿉니다.

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다시 넣는 모형은 원래 구성을 회복합니다

뽑은 공을 다시 넣고 충분히 섞어 각 공이 같은 가능성으로 선택된다고 가정하면, 두 번째도 파랑 3개·흰 2개 중에서 뽑습니다. 다음 파랑 확률은 첫 색에 관계없이 3/5입니다. 독립 선택을 가정할 수 있는 모형에서는 두 번 파랑 확률이 (3/5)²=9/25입니다.

공을 다시 넣는 행동만으로 실제 모든 장치가 자동으로 독립임이 입증되는 것은 아닙니다. 충분한 섞기와 선택 과정의 가정이 필요합니다. 수학 문제에서 ‘복원 추출·독립’ 조건이 주어지면 그 모형 안에서 계산하고, 실제 실험의 기계적 특성은 별도 확인 대상으로 구분합니다. 결과의 조건을 생략한 채 공식만 바꾸지 마세요.

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서로 배타적이라는 말은 독립과 다릅니다

한 번 던진 동전에서 ‘앞면’과 ‘뒷면’은 동시에 일어날 수 없어 서로 배타적입니다. 하지만 앞면이라는 정보를 알면 같은 시행의 뒷면 확률은 0이 됩니다. 공정 모형의 원래 뒷면 확률 1/2에서 바뀌므로 두 사건은 독립이 아닙니다.

첫 시행의 앞면과 두 번째 시행의 앞면은 독립 가정 아래 함께 일어날 수 있습니다. 독립은 정보를 알아도 확률이 바뀌지 않는 관계이고 배타는 동시에 일어나지 않는 관계입니다. ‘서로 관계가 없다’ 같은 막연한 표현으로 두 개념을 섞지 않습니다. 양의 확률을 가진 배타 사건 두 개는 곱으로 독립 조건을 만족하지 않는다는 점도 확인할 수 있습니다.

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곱셈식은 독립 조건을 확인한 뒤 사용합니다

독립 사건 A,B에 대해 둘 다 일어날 확률은 P(A)P(B)입니다. 일반적인 두 단계 모형에서는 첫 사건의 확률과 그 사건이 일어난 뒤 두 번째 확률을 곱합니다. 비복원 공 예제처럼 두 번째 조건부 확률이 바뀌면 처음의 3/5를 두 번 곱하지 않습니다.

실제 문제를 읽을 때에는 한 번 뽑은 대상이 남아 있는지, 다시 넣는지, 이전 선택이 다음 조건을 바꾸는지, 두 시행이 독립이라고 명시됐는지 질문합니다. 사건의 순서와 조건을 수형도의 각 가지에 적으면 전체 경로의 확률과 중간 이후의 조건부 확률을 구분하기 쉽습니다. 그림은 모형을 정리하는 도구이며 공정성을 실제로 측정한 증거는 아닙니다.