들어가며
기울기를 ‘y의 증가량 나누기 x의 증가량’으로 외우면 점의 순서를 바꾸거나 단위가 붙는 문제에서 실수하기 쉽습니다.
기울기는 x가 1만큼 변할 때 y가 평균적으로 얼마나 변하는지를 나타내는 수입니다. 그래프의 모양뿐 아니라 요금, 속력, 온도처럼 두 양의 관계를 읽는 언어입니다.
기울기는 변화의 비율입니다
두 점을 이은 직선에서 x가 변한 양을 가로 변화량, y가 변한 양을 세로 변화량이라고 합니다. 세로 변화량을 가로 변화량으로 나눈 값이 기울기입니다.
기울기가 2라면 x가 1 증가할 때 y가 2 증가합니다. x가 3 증가하면 y는 6 증가합니다. 같은 직선에서는 어느 두 점을 골라도 이 비율이 같습니다.
점의 순서는 위아래를 맞춥니다
첫 번째 점에서 두 번째 점으로 간다면 분자는 y₂−y₁, 분모는 x₂−x₁로 계산합니다. 분자만 순서를 바꾸거나 분모만 순서를 바꾸면 부호가 반대로 나옵니다.
두 점의 순서를 모두 바꾸는 것은 괜찮습니다. 분자와 분모가 함께 음수가 되어 몫은 같기 때문입니다.
예제 1: 두 점에서 기울기 구하기
좌표를 공식에 넣기 전에 어느 점을 첫 번째 점으로 삼을지 표시합니다.
직접 풀어보기
점 (2, 3)과 (6, 11)을 지나는 직선의 기울기를 구하세요.
- x의 변화량은 6−2=4입니다.
- y의 변화량은 11−3=8입니다.
- 기울기는 8/4=2입니다.
답 2
검산 두 점의 순서를 바꾸면 (3−11)/(2−6)=−8/−4=2로 같은 값입니다.
예제 2: 요금표에서 기울기 읽기
상황 문제에서는 숫자만 쓰지 말고 기울기의 단위까지 적어야 뜻이 분명해집니다.
직접 풀어보기
택시 이동 거리가 2km일 때 5,400원, 5km일 때 9,000원입니다. 거리와 요금의 관계가 일차함수라면 기울기는 얼마인가요?
- 거리 변화량은 5−2=3km입니다.
- 요금 변화량은 9,000−5,400=3,600원입니다.
- 3,600÷3=1,200이므로 기울기는 1,200원/km입니다.
답 1,200원/km
검산 거리 3km가 늘었으므로 요금은 1,200×3=3,600원 늘어야 하고 실제 차이와 같습니다.
양수, 음수, 0인 기울기
기울기가 양수면 x가 증가할 때 y도 증가하고, 음수면 x가 증가할 때 y는 감소합니다. 기울기가 0이면 x가 변해도 y가 변하지 않아 수평선이 됩니다.
수직선은 x의 변화량이 0입니다. 0으로 나눌 수 없으므로 수직선의 기울기는 정의되지 않습니다. ‘기울기가 0’인 수평선과 구별해야 합니다.
- 양의 기울기: 오른쪽으로 갈수록 올라간다.
- 음의 기울기: 오른쪽으로 갈수록 내려간다.
- 기울기 0: 수평선
- 기울기 없음: 수직선
정리
이것만은 기억하세요
- 기울기는 x의 변화량에 대한 y의 변화량입니다.
- 좌표를 뺄 때 분자와 분모의 점 순서를 같게 맞춥니다.
- 상황 문제에서는 기울기의 단위를 함께 읽습니다.
- 수평선의 기울기는 0이고 수직선의 기울기는 정의되지 않습니다.
확인
혼자서 확인해 보기
1. 점 (−1, 4)와 (3, −4)를 지나는 직선의 기울기를 구하세요.
풀이와 답 보기
- x의 변화량은 3−(−1)=4입니다.
- y의 변화량은 −4−4=−8입니다.
- −8/4=−2입니다.
답 −2
검산 순서를 바꾸면 8/−4=−2입니다.
2. 물통의 물이 2분에 18L, 7분에 43L라면 분당 증가량을 구하세요.
풀이와 답 보기
- 시간 변화량은 5분입니다.
- 물의 양 변화량은 25L입니다.
- 25÷5=5입니다.
답 분당 5L
검산 5분 동안 5×5=25L 늘어나 실제 차이와 같습니다.
FAQ
자주 묻는 질문
기울기와 y절편은 어떻게 다른가요?
기울기는 x가 변할 때 y가 변하는 비율이고, y절편은 x=0일 때의 y값입니다.
두 점 중 어느 점을 먼저 빼야 하나요?
어느 점이든 괜찮지만 분자와 분모에서 같은 점을 먼저 빼야 합니다.
그래프가 더 높이 있으면 기울기도 큰가요?
아닙니다. 그래프의 위치와 기울기는 별개입니다. 평행한 두 직선은 높이가 달라도 기울기가 같습니다.