비례식에서 왜 안쪽 곱과 바깥쪽 곱이 같을까

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비례식은 두 비가 같다는 등식입니다

a:b=c:d는 a/b=c/d라는 뜻입니다. 이 식을 비례식이라고 부르려면 b와 d가 0이 아니어야 합니다. 0으로 나눈 비는 값이 정해지지 않기 때문입니다.

비례식에서는 왼쪽과 오른쪽이 같은 값을 나타냅니다. 따라서 등식의 성질을 지키며 양변에 같은 0이 아닌 수를 곱해도 같음은 유지됩니다.

02

두 분모를 없애면 교차곱이 남습니다

a/b=c/d의 양변에 bd를 곱합니다. 왼쪽에서는 b가 약분되어 ad가 남고, 오른쪽에서는 d가 약분되어 bc가 남습니다. 양변에 같은 수를 곱했으므로 두 결과도 같습니다.

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단위와 비교 순서를 먼저 맞춥니다

레시피에서 밀가루:물의 비를 비교한다면 두 비 모두 분자에는 밀가루, 분모에는 물이 와야 합니다. 한쪽은 밀가루/물, 다른 쪽은 물/밀가루로 쓰면 숫자를 정확히 곱해도 다른 관계를 계산한 셈입니다.

길이와 시간처럼 단위가 있는 양은 같은 위치끼리 단위도 맞춥니다. 3cm/2m와 6cm/4m는 비교할 수 있지만, 3cm/2m와 4m/6cm는 순서가 반대입니다.

• 무엇과 무엇을 비교하는지 말로 먼저 쓴다.
• 두 비의 위아래 순서를 같게 둔다.
• 분모가 0이 아닌지 확인한다.
• 마지막에 원래 두 비의 값을 다시 비교한다.

04

예제: 레시피의 양을 같은 비율로 늘리기

밀가루와 물을 질량비 5:3으로 섞는 레시피에서 밀가루를 750g 쓸 때 필요한 물의 양을 구해 봅니다. 비교 순서를 밀가루/물로 고정합니다.

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교차곱 뒤에는 원래 비로 돌아가 확인합니다

4/6=x/21에서 교차곱을 하면 4×21=6x, 즉 84=6x이므로 x=14입니다. 여기서 멈추지 말고 4/6과 14/21을 각각 약분합니다. 두 값이 모두 2/3이므로 답이 맞습니다.

교차곱은 미지수를 구하는 계산이고, 약분이나 나눗셈은 두 비가 실제로 같은지 확인하는 검산입니다. 두 방법의 결과가 어긋나면 순서, 곱셈, 나눗셈 중 어느 단계에서 오류가 났는지 찾을 수 있습니다.

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모든 두 양이 비례하는 것은 아닙니다

택시 기본요금처럼 처음부터 더해지는 일정한 값이 있으면 거리와 전체 요금은 원점을 지나는 단순한 비례 관계가 아닐 수 있습니다. 키가 5cm 늘었다고 몸무게도 항상 같은 비율로 늘어나는 것도 아닙니다.

문제에 비율, 축척, 일정한 속력처럼 비가 일정하다는 근거가 있는지 먼저 확인하세요. 두 쌍의 숫자가 보인다는 이유만으로 비례식을 만들면 교차곱 계산은 맞아도 식의 출발점이 틀립니다.